giovedì 23 gennaio 2014

Problemi svolti: determinare ampiezza di un settore circolare nota l'area del cerchio (e viceversa)

Risolviamo i seguenti problemi:

1) Determina l'area del cerchio contenente un settore di area 12π cm^2 e di ampiezza 270°.

Il problema è di semplice risoluzione, perché basta considerare che, così come ad un settore di area 12π cm^2  (in figura si legge il valore 37,7, che è stato ottenuto moltiplicando 12 per il valore arrotondato di π = 3,14) corrisponde un angolo di ampiezza 270°, all'area dell'intero cerchio dovrà corrispondere l'angolo giro, cioè 360°. Impostiamo quindi una semplice proporzione, dove As e Ac indicano rispettivamente l'area del settore circolare e l'area del cerchio:
Risolvendo (ricordiamo la proprietà fondamentale per trovare il termine incognito di una proporzione):
Semplificando:
Più facilmente, basta considerare che un angolo di 270° è 3/4 di un angolo giro, per cui basta dividere l'area del settore per 3 e moltiplicare per 4 per ottenere l'area del cerchio intero.

2) In un cerchio di area 225π cm^2 si trova un settore avente l'area di 78,125π cm^2. Determina l'ampiezza del settore circolare.
Anche in questo caso vale lo stesso discorso del problema precedente (per cui omettiamo la figura), ma questa volta dobbiamo procedere al contrario, cioè partiamo sempre dalla stessa proporzione, ma conosciamo l'area del cerchio e dobbiamo calcolare l'ampiezza del settore circolare, che indichiamo con α.

sostituiamo i valori che conosciamo, cioè l'area sia del settore che del cerchio:

Risolviamo la proporzione per avere l'ampiezza del settore circolare:

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