martedì 14 gennaio 2014

Problema svolto: calcolare il rapporto tra le aree di un rettangolo ed un quadrato isoperimetrici

Risolviamo il seguente problema:

Un rettangolo ha il perimetro di 120 cm e la base lunga 45 cm. Calcola il rapporto tra le aree del rettangolo e di un quadrato isoperimetrico al rettangolo. È maggiore l'area del rettangolo o quadrato?

Calcoliamo subito l'altezza del rettangolo, visto che basta sottrarre al perimetro 2 volte la lunghezza della base e dividere poi la differenza per 2:
Calcoliamo l'area del rettangolo, con la consueta formula :
Sappiamo che il rettangolo ABCD e il quadrato EFGH sono isoperimetrici, dunque il perimetro è lo stesso; basterà dividere per 4 il perimetro per conoscere la lunghezza del lato del quadrato:
E l'area del quadrato possiamo calcolarla con la formula :
Notiamo che l'area del quadrato è maggiore dell'area del rettangolo e se vogliamo conoscere il rapporto tra le 2 aree, indichiamo con Ar l'area del rettangolo e con Aq l'area del quadrato; otteniamo:

il che significa che l'area del rettangolo è 3/4 dell'area del quadrato, come si può anche vedere dalla figura.