martedì 20 agosto 2013

I numeri perfetti


Dopo aver visto i numeri narcisisti ed i numeri amici (o amicabili), ecco un'altra categoria di numeri che hanno una particolarità.
In teoria dei numeri, un numero si definisce perfetto se può essere scritto come somma dei suoi divisori tranne se stesso. Consideriamo un qualsiasi numero naturale, ad esempio 24, che ha i seguenti divisori:
Se li sommiamo tutti tranne 24 stesso, notiamo che la loro somma non è 24, bensì:
Dunque 24 non è un numero perfetto. Vediamo invece un esempio di numeri perfetti, partendo dal minore possibile, cioè 6. I suoi divisori saranno:
I primi 4 numeri perfetti
Sommiamo i suoi divisori, tranne 6 stesso, e otterremo:
Un altro esempio di numero perfetto è 28, i cui divisori sono:
Sommiamo i suoi divisori tranne 28:
Anche 28 è quindi un numero perfetto! Il prossimo numero perfetto è 496, seguito da 8128. Se ci facciamo caso, è singolare la coincidenza che, dal 1° al 4° numero perfetto, le cifre aumentino di un'unità, perciò il primo numero perfetto ha una cifra, il secondo 2, e così via fino a 8128, ma se consideriamo il 5° numero perfetto, ossia 33 550 336, esso conta ben 8 cifre, mentre il 10° ne ha ben 54!
Se la somma dei divisori (ovviamente tranne il numero stesso) è maggiore del numero, allora il numero non si definisce perfetto, ma abbondante. Come abbiamo visto nel primo caso, la somma dei divisori di 24 dà 36 > 24, perciò 24 è un numero abbondante.
Viceversa, se la somma è minore del numero, allora esso si definirà difettivo. Ad esempio, 10 è un numero difettivo, perché i suoi divisori, tranne il divisore improprio 10, sono 1, 2 e 5, quindi 1 + 2 + 5 = 8  e 8 < 10.
Sant'Agostino d'Ippona
Un'altra curiosità legata ai numeri perfetti è che non è stato ancora dimostrato se essi siano infiniti o meno, né se ci siano numeri perfetti dispari, visto che tutti quelli finora scoperti - 48, tanti quanti i numeri primi di Mersenne, a cui i numeri perfetti sono connessi - sono pari e terminano con 6 o con 8.
I primi a subire il fascino dei numeri perfetti sono stati i Pitagorici, ma la cultura ebraica e cristiana in seguito hanno continuato a corteggiare i numeri perfetti, considerandoli quasi come numeri sacri. Ad esempio ne La città di Dio Sant'Agostino scrisse: <<Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l'opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto>>.

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