domenica 27 gennaio 2013

L'area del quadrato con le formule di altri quadrilateri

Tutti ricordiamo sin dalla scuola primaria che la formula per il calcolo dell'area della superficie di un quadrato è . Tale formula si deduce facilmente dalla classica "base per altezza" () di un rettangolo; infatti si sente sempre dire che un quadrato è un particolare rettangolo con le 2 dimensioni uguali, talvolta che è un particolare rombo con tutti gli angoli congruenti, ma è assai più raro sentir dire che un quadrato è un particolare trapezio, forse perché i trapezi quasi sempre sono considerati come quadrilateri distinti da tutti gli altri.
Il disegno schematico accanto rappresenta alcuni dei quadrilateri più ricorrenti nel percorso scolastico, raggruppati secondo insiemi e sottoinsiemi attraverso i classici diagrammi di Eulero-Venn. Come si può vedere, i quadrati sono collocati nell'insieme intersezione tra l'insieme dei rettangoli e quello dei rombi, perché il quadrato è un particolare parallelogramma sia equilatero (come il rombo) che equiangolo (come il rettangolo). Se un quadrato è anche un rombo, allora dev'essere possibile calcolarne l'area attraverso la formula per il calcolo dell'area del rombo, cioè , e basterà verificarlo con un semplice esempio. Supponiamo che un quadrato abbia lato pari a 20 cm. Con la sua formula, facilmente si ricava , ma proviamo a calcolarla anche con la formula del rombo. Sappiamo che la diagonale di un quadrato si può calcolare facilmente con la formula , ricavabile a sua volta attraverso il teorema di Pitagora. Dunque la diagonale di tale quadrato, con la formula del rombo, sarà  e siccome l'area di un rombo si ricava dal semiprodotto delle diagonali, possiamo calcolare l'area del quadrato così:

Abbiamo quindi visto come l'area del quadrato possa essere ricavata con la stessa formula di calcolo del rettangolo, rombo e parallelogramma generico (la sua formula è la stessa del rettangolo). Se però osserviamo il disegno, l'insieme dei parallelogrammi è rappresentato come un sottoinsieme dei trapezi: perché? Un trapezio è un quadrilatero con 2 lati opposti paralleli, il che non significa che dev'esserci soltanto una coppia di lati opposti paralleli, ma anche 2; perciò i parallelogrammi, che almeno una coppia di lati opposti paralleli ce l'hanno (hanno addirittura entrambe le coppie di lati opposti paralleli), sono anch'essi trapezi, e se il quadrato è un particolare parallelogramma, allora dovrà essere anche un particolare trapezio.
Proviamo dunque a vedere se funziona l'applicazione delle classica formula per l'area del trapezio () all'area della superficie di un quadrato, utilizzando sempre le stesse misure iniziali (), ricordando che le 2 basi del trapezio nel quadrato sono congruenti tra loro ed all'altezza, e corrispondono tutti al lato l:

Verrebbe da chiedersi: perché complicarsi la vita quando in realtà la formula "classica" dell'area della superficie del quadrato è molto più semplice? E' ovvio che sarà soprattutto con questa che si dovrà calcolare l'area di un qualsiasi quadrato, dato che è più comodo, ma fare almeno una volta queste considerazioni aiuta sicuramente ad aprire un po' di più la mente e rinforzare l'idea che i quadrilateri non sono figure tutte sconnesse tra loro, ma che quelli con proprietà più specifiche conservano le proprietà di quelli più generici, proprio come indicato nel raggruppamento di insiemi e sottoinsiemi; spesso invece, nel corso degli studi, si imparano a memoria le singole formule e non si capisce da dove saltino fuori alcune di esse.
In questo post inoltre abbiamo ragionato su un caso specifico, con l'esempio di una misura in particolare, ma ovviamente si può generalizzare il tutto partendo dalla formula generale del trapezio e, di volta in volta, modificare la formula precedente sino ad arrivare al quadrato, passando attraverso l'aggiunta di proprietà geometriche sempre più particolari. Lo vedremo nel prossimo post ;-)