venerdì 18 gennaio 2013

Dimostrazioni di geometria svolte (triangoli; congruenza) (2)

Considera un triangolo ABC isoscele sulla base AB. Prolunga AC, dalla parte di C, di un segmento CE e prolunga BC, dalla parte di C, di un segmento CD in modo che sia CD = CE. Considera poi due punti F e N, rispettivamente sui lati AC e CB, in modo che sia FC = NC e che le rette DF ed EN si intersechino in un punto T. Detti H e K i punti di intersezione delle rette EN ed FD con la base AB, dimostra che HTK è isoscele.

Hp: AC = AB; CBA = CAB; CD = CE; CF = CN

Th: HT = HK; oppure THK = TKH

Dimostrazione:

I triangoli CDF e CEN sono congruenti per il 1° criterio, in quanto hanno rispettivamente CF = CN e CD = CE per ipotesi, e l'angolo compreso FCD = NCE perché opposti al vertice. Essi, in particolare, avranno anche gli angoli FDC = CEN e i lati FD = EN. 
I triangoli AEH e BDK sono anch'essi congruenti, ma per il 2° criterio, poiché hanno i lati BD ed AE congruenti perché somme di segmenti congruenti, e i 2 angoli ad essi adiacenti congruenti; infatti BDK = AEH, come precedentemente dimostrato, e gli angoli EAH e DBK congruenti perché angoli alla base del triangolo isoscele ABC. Dunque i triangoli AEH e BDK, essendo congruenti, avranno anche in particolare congruenti gli angoli EHA e DKB. Nel triangolo HTK gli angoli interni THK e TKH saranno congruenti perché supplementari rispettivamente dei 2 angoli esterni congruenti THA e TKB. E un triangolo con 2 angoli interni congruenti è senz'altro isoscele.