venerdì 23 novembre 2012

Espressione aritmetica con frazioni di frazioni e potenze nell'insieme dei numeri razionali assoluti

Risolviamo la seguente espressione aritmetica nell'insieme dei numeri razionali assoluti Qa, contenente frazioni di frazioni ed elevamenti a potenza:














Lasciamo le potenze così come sono, perché è possibile che nelle parentesi ad esse successive si ottenga una potenza con uguale base oppure uguale esponente, per cui a quel punto converrebbe applicare una proprietà  del prodotto e quoziente tra potenze con ugual base o esponente. Risolviamo qualche calcolo all'interno delle parentesi, riducendo al comune denominatore alcune frazioni. All'interno delle parentesi di numeratore e denominatore della prima grande frazione, il comune denominatore è 24, mentre nella parentesi del numeratore della seconda grande frazione il comune denominatore tra 6 e 2 è 6; al denominatore semplifichiamo "a croce" 10 con 15, dividendo entrambi per 5. 
Avremo:
Svolgiamo qualche calcolo:
Ci si può già rendere conto facilmente che nelle parentesi otterremo frazioni diverse da quelle presenti già come basi delle potenze, per cui a questo punto conviene elevare a potenza le singole frazioni; riduciamo al denominatore comune anche tutte le frazioni nelle parentesi e fuori, dove possibile:
Svolgiamo qualche semplice calcolo rimasto (1 al numeratore della seconda grande frazione deriva dalla semplificazione di 6/6):
Semplifichiamo a croce dopo aver trasformato la divisione in moltiplicazione (ricordiamo di trasformare anche la seconda frazione nella sua inversa):
E ancora:
Che possiamo scrivere come:
Ed avremo: