martedì 23 ottobre 2012

Problema svolto: determinare il perimetro di un quadrato equivalente ad una frazione di superficie di un triangolo

Risolviamo il seguente problema:
In un triangolo la base è i 4/7 dell'altezza e la somma delle loro lunghezze misura 110 cm. Un quadrato è equivalente ai 7/8 del triangolo. Calcola il perimetro del quadrato.

Risoluzione:
Per determinare il perimetro del quadrato, è indispensabile conoscere il suo lato. Dal momento che sappiamo che il lato di un quadrato si può ottenere estraendo la radice quadrata dell'area e che il nostro quadrato è equivalente a 7/8 del triangolo, dovremo prima determinare l'area del triangolo, in modo che i suoi 7/8 diano il valore dell'area del quadrato; successivamente otterremo la misura del lato del quadrato estraendo la radice quadrata dell'area.
Ricordiamo la relazione esistente tra lato ed area di un quadrato:
Ricordiamo inoltre la formula generale per il calcolo dell'area di un triangolo:
Cominciamo col determinare l'area del triangolo, ricavando base ed altezza dai dati che abbiamo. Sappiamo che il rapporto tra base e altezza è pari a 4/7 e la loro somma è pari a 110 cm. Ciò significa che la loro somma sarà:
L'unità frazionaria della somma sarà quindi 1/11 e dividendo 110 per 11 otterremo proprio il valore dell'unità frazionaria della somma:
Ogni unità è dunque lunga 10 cm, perciò l'altezza h sarà:
e la base sarà:
Calcoliamo l'area del triangolo:
L'area del quadrato è equivalente ai suoi 7/8, perciò, indicando con Aq l'area del quadrato, avremo:
E il lato l sarà:
Il perimetro 2p del quadrato sarà: