domenica 23 settembre 2012

Problema sul teorema di Pitagora: individuare la profondità di un sommergibile in base al tempo di rilevazione dell'eco

Risolviamo il seguente problema:
Il suono si propaga nell'acqua alla velocità di circa 1500 m/s. Il sonar di una nave individua un sommergibile lungo la traiettoria NS, come indicato in figura sotto. Sapendo che il suono emesso viene registrato come eco dopo 1,2 secondi, calcola a quale profondità si trova il sommergibile e a che distanza si trova, in linea d'aria, rispetto alla nave.

Risoluzione:
Notiamo innanzitutto che la traiettoria NS, lungo cui viaggiano le onde del sonar, e la profondità incognita OS rappresentano rispettivamente l'ipotenusa ed il cateto minore di un triangolo rettangolo ideale ONS. OS è cateto minore perché dalla figura sappiamo che ON e NS sono lati di un angolo di 30°, dunque ON sarà il cateto maggiore. L'informazione sull'angolo ONS è indispensabile per determinare la profondità OS a cui si trova il sommergibile e la sua distanza dalla nave; ricordiamo infatti, dal teorema di Pitagora applicato a triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60°, che in un triangolo rettangolo con un angolo acuto di 30° (e l'altro di 60°), il cateto minore è pari alla metà dell'ipotenusa, mentre il cateto maggiore è pari al prodotto del cateto minore per la radice quadrata di 3.
L'unico dato che possiamo conoscere, nonché l'unico che ci basta ricavare, è quindi la lunghezza dell'ipotenusa NS, da cui potremo poi ottenere le misure dei cateti. Siccome conosciamo la velocità di propagazione del suono in acqua e sappiamo che il tempo impiegato dal suono per essere emesso dal sonar e poi rilevato è di 1,2 s, possiamo molto facilmente determinare la distanza complessiva x percorsa dalle onde lungo la traiettoria NS, attraverso una semplice proporzione:

Quindi

Dal momento che l'onda torna indietro come eco, la distanza NS viene percorsa 2 volte, per cui
Dunque la profondità-cateto minore OS sarà la metà dell'ipotenusa NS

E la distanza in linea d'aria-cateto maggiore ON sarà

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