lunedì 30 luglio 2012

Due esempi di espressioni goniometriche risolvibili mediante gli angoli associati

Risolviamo 2 espressioni goniometriche mediante l'impiego degli angoli associati, che spesso in goniometria si rivelano di grande aiuto. Prima di passare a considerare gli esempi di espressioni che risolveremo passaggio dopo passaggio, ricordiamo cos'è un'espressione goniometrica: essa è un'espressione algebrica contenente almeno una funzione goniometrica.
Ecco la prima:

Trasformiamo secante e cosecante rispettivamente in funzione di coseno e seno, tenendo conto che
Avremo quindi:
Adesso possiamo semplificare l'espressione ricordando le relazioni esistenti tra le funzioni goniometriche di un angolo e quelle dei suoi angoli associati. In particolare:
(perché sono angoli che differiscono di un angolo piatto, ed hanno quindi seno opposto);
(perché angoli supplementari hanno uguale seno e coseno opposto, quindi tangente opposta);
(perché angoli esplementari hanno uguale coseno);
(perché angoli opposti hanno uguale coseno).
L'espressione diventerà:
Esprimiamo la tangente come rapporto tra seno e coseno:
Semplifichiamo:
Eliminiamo i termini opposti e otterremo come risultato:
Ed ora risolviamo la seconda:
Effettuiamo le seguenti sostituzioni ricordando alcune relazioni esistenti con gli angoli associati corrispondenti:
(perché angoli esplementari hanno coseno opposto)
(perché angoli che differiscono di un angolo piatto hanno coseno opposto)
(perché il seno di un angolo è uguale al coseno dell'angolo complementare)
(perché angoli opposti hanno coseno opposto)
Otteniamo:
Semplificando i restanti calcoli, avremo: