lunedì 12 marzo 2012

Problema svolto: determinare area della superficie totale e volume di una piramide retta con base triangolare

Risolviamo il seguente problema:
Una piramide retta ha per base un triangolo rettangolo la cui ipotenusa, lunga 35 cm, è i 5/4 del cateto maggiore. Sapendo che l'altezza della piramide misura 24 cm, calcolane l'area della superficie totale e il volume.
Risoluzione:
Cominciamo col calcolare il volume, relativamente più semplice dell'area della superficie laterale. Per esso avremo bisogno della formula:
dove Sb rappresenta l'area della superficie di base e h è l'altezza della piramide, che già conosciamo.
Affinché possiamo sapere l'area di base, dovremo applicare il teorema di Pitagora alla stessa, che è un triangolo rettangolo di ipotenusa AC nota, ed è i 5/4 del cateto maggiore BC. Tale cateto maggiore sarà quindi i 4/5 dell'ipotenusa:
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di base per determinare la lunghezza del cateto minore AB:
Per ottenere l'area di base, dal momento che il triangolo è rettangolo, i 2 cateti fungono rispettivamente da base ed altezza, per cui:
E il volume sarà:
Per determinare l'area totale, dobbiamo sommare l'area laterale a quella di base, che già conosciamo:

Determiniamo quindi l'area della superficie laterale, che è data dalla seguente formula (per capirla meglio, vedi anche il link a quest'altro problema):

Calcoliamo il semiperimetro di base:

Per ottenere l'apotema, dobbiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo DGV, avente per ipotenusa l'apotema e per cateti l'altezza della piramide ed il raggio della circonferenza inscritta. A tal fine, dobbiamo ricordare il teorema secondo cui, in un poligono circoscritto ad una circonferenza, la sua area è uguale al prodotto del suo semiperimetro per il raggio della circonferenza inscritta. Di conseguenza, il raggio sarà:

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo DGV per ottenere l'apotema a:

Quindi:

E l'area della superficie totale:

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