giovedì 2 febbraio 2012

Problema svolto su area e perimetro di un triangolo equilatero, nota l'altezza

Risolviamo il seguente problema:
L'altezza di un triangolo equilatero misura 43,3 dm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.
Risoluzione:
Come sempre, partiamo dal nostro obiettivo. Per poter determinare il perimetro dovremo sapere necessariamente quanto misura la lunghezza del lato del triangolo equilatero. Conosciamo solo l'altezza del triangolo, ma se osserviamo bene la figura e ricordiamo che in un triangolo equilatero l'altezza relativa ad un lato è anche mediana, bisettrice e asse, il triangolo equilatero ABC resta suddiviso da AH in due triangoli rettangoli congruenti, in cui gli angoli A e B sono ciascuno di 60°, mentre gli angoli ACH e BCH sono ciascuno di 30°. 
Se però un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 60° e l'altro di 30°, come abbiamo visto nel post: teorema di Pitagora applicato a triangoli rettangoli con un angolo di 30° e l'altro di 60° che ho pubblicato un po' di tempo fa, il cateto minore è pari alla metà dell'ipotenusa, mentre il cateto maggiore è uguale al cateto minore moltiplicato per la radice quadrata di 3. Di conseguenza, essendo:
sarà anche vera l'inversa:
L'ipotenusa di ACH - cioè il lato del triangolo equilatero - sarà quindi il doppio del cateto minore AH, per cui:
E il perimetro 2p sarà:
Per l'area A del triangolo ricordiamo la formula generale e svolgiamo i calcoli:

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