domenica 5 febbraio 2012

Problema svolto: determinare le coordinate dei vertici di un triangolo note le coordinate del baricentro

Risolviamo il seguente problema:
I vertici di un triangolo sono A(3; h + k + 1), B(h - k; 2) e C(h; h + 2k + 1). Determina i valori dei parametri h e k affinché il baricentro sia G(1;4).
Risoluzione:
Sappiamo che le formule generali per determinare le coordinate del baricentro G di un triangolo (ricordiamo che il baricentro di un triangolo è il punto notevole ottenuto dall'intersezione delle 3 mediane), note le coordinate dei suoi vertici, sono:
Noi in realtà conosciamo già le coordinate del punto G, ma quello che non conosciamo sono le coordinate dei vertici A, B e C. Se eguagliamo le 2 equazioni precedenti ai valori delle coordinate di G che conosciamo (rispettivamente 1 e 4), possiamo risolvere il sistema di equazioni di primo grado nelle incognite h e k.
Avremo (saltando qualche calcolo semplice):
1)
2)
Mettiamo a sistema le equazioni 1) e 2) così ottenute, svolgendo qualche altro calcolo:
Risolviamo sostituendo k nella seconda equazione ed otteniamo il valore di h:


Le coordinate dei 3 vertici pertanto saranno:
A(3;4);   B(-1;2);   C(1;6).