venerdì 13 gennaio 2012

Problema svolto sul calcolo della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo

Risolviamo il seguente problema:
La base di un parallelepipedo rettangolo ha la superficie che misura 72 cm^2 e le dimensioni una il doppio dell'altra. L'altezza del parallelepipedo è 5/6 del perimetro di base. Determina l'area della superficie totale e il volume del parallelepipedo.
Risoluzione:
Per giungere a calcolare l'area della superficie totale St del parallelepipedo, ricordiamo che essa è data dalla somma dell'area della superficie laterale Sl con l'area della superficie delle 2 facce di base Sb, secondo la formula:
Sappiamo già l'area della superficie di base, quindi rimane da calcolare l'area della superficie laterale. Ricordiamo che essa, a sua volta, si calcola con la formula:
,
dove 2p indica il perimetro del rettangolo di base e h l'altezza del prisma. Il motivo per cui vale questa formula si può capire facilmente se consideriamo lo sviluppo sul piano del parallelepipedo, come in figura accanto. Infatti, come si può vedere, le facce laterali, distese, compongono un rettangolo la cui altezza è ancora l'altezza del parallelepipedo, mentre la base è il perimetro della faccia di base del parallelepipedo. 
Come facciamo però a trovare la lunghezza delle dimensioni di base a e b? Esse sono l'una il doppio dell'altra (a = 2b) e l'area è di 72 cm^2. Possiamo prendere in considerazione la sola faccia rettangolare di base e disegnarla in modo da mettere bene a fuoco il rapporto in cui stanno tra loro le due dimensioni a e b. Con la quadrettatura del foglio notiamo facilmente che il rettangolo si può suddividere in due quadrati congruenti. Possiamo quindi dividere per 2 l'area di base e ottenere l'area Aq di ciascun quadrato, la cui lunghezza del lato l sarà a sua volta ricavabile estraendo la radice quadrata (vedi fig. sotto).
Avremo:
E il lato l sarà:
Il perimetro di base conterrà quindi 6 volte la lunghezza del lato l del quadrato, quindi:
Per determinare l'area laterale Sl bisognerà conoscere anche l'altezza, che dal testo del problema risulta essere 5/6 del 2p. Quindi:
E l'area laterale Sl sarà:
L'area totale St sarà:
Il volume V possiamo calcolarlo come prodotto dell'area di base per l'altezza, per cui: