venerdì 27 gennaio 2012

Esempio di espressione aritmetica con esponenti negativi nell'insieme numerico Q

Risolviamo la seguente espressione aritmetica con esponenti negativi e frazioni di frazioni (o espressione "a due piani", come spesso viene simpaticamente chiamata):
E' un'espressione che ammette soluzione almeno nell'insieme dei numeri razionali Q. Notiamo innanzitutto che in quest'espressione compaiono diversi concetti aritmetici fondamentali, quali frazioni e potenze con esponenti negativi e positivi. Prima di risolvere le potenze con esponenti negativi, che magari possono creare qualche problema in più, possiamo cominciare con le potenze con esponenti positivi e le addizioni e sottrazioni tra frazioni, riducendole al comune denominatore. In particolare notiamo che nella prima parentesi sia i numeratori che i denominatori delle due frazioni hanno uguale base, per cui possiamo applicare la proprietà delle potenze del prodotto di potenze con uguale base. Avremo:

Se osserviamo la prima divisione tra frazioni, anziché "capovolgere" la seconda frazione e trasformare la divisione in moltiplicazione, facciamo prima se dividiamo tra loro i 2 numeratori e tra loro i 2 denominatori, così da poter applicare le proprietà delle potenze (quoziente di potenze con uguale base). Svolgiamo i calcoli nell'ultima frazione e semplifichiamo. Avremo:

Cerchiamo ora di ricordare come si risolve una potenza con esponente negativo. Essa, semplicemente, è uguale alla potenza, con stesso esponente in valore assoluto ma positivo, della frazione inversa della sua base. In poche parole, basterà trasformare una frazione qualsiasi nella sua inversa e togliere il segno - all'esponente; risolviamo inoltre qualche potenza e avremo:


Riduciamo al comune denominatore le frazioni in basso e svolgiamo i calcoli:

A questo punto possiamo anche scrivere:

Capovolgiamo la seconda frazione e semplifichiamo:

Semplifichiamo ulteriormente e moltiplichiamo:


Per altri esempi di espressioni aritmetiche con frazioni, in cui sono presenti anche numeri decimali periodici da trasformare in frazione, puoi andare a questo link o a quest'altro link.