lunedì 26 dicembre 2011

Problema svolto: determinare perimetro ed area di un rombo circoscritto ad un cerchio

Risolviamo il seguente problema:
Calcola perimetro e area di un rombo circoscritto ad un cerchio con il diametro lungo 24 cm, sapendo che una sua diagonale è lunga 40 cm.
Risoluzione:
Per poter determinare il perimetro del rombo, abbiamo bisogno della misura del lato. Per ottenerne la lunghezza, potremo utilizzare i teoremi di Euclide e Pitagora focalizzando l'attenzione su uno dei 4 triangoli rettangoli in cui il rombo viene diviso dalle sue diagonali. 
Supponiamo che la diagonale lunga 40 cm sia AB. Il rombo è circoscritto al cerchio, per cui il raggio di quest'ultimo dovrà essere perpendicolare ai lati del rombo nei punti di tangenza. Così il triangolo CFA ad esempio è rettangolo. Di esso conosciamo il cateto CF, che è lungo metà del diametro, in quanto raggio, per cui CF = 12 cm; conosciamo inoltre AC, lunga la metà di AB, per cui AC = 20 cm. Applichiamo il teorema di Pitagora a questo triangolo per ottenere la lunghezza di AF:
Se consideriamo il triangolo ACE, di esso conosciamo l'altezza CF relativa all'ipotenusa AE e la proiezione AF di AC sull'ipotenusa. Possiamo quindi utilizzare il secondo teorema di Euclide per ricavare la lunghezza di EF, che sommato ad AF dà la lunghezza del lato del rombo. Ricordiamo il secondo teorema di Euclide: in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Avremo:
Quindi:
Il perimetro 2p quindi sarà:
Per l'area istintivamente verrebbe da trovare la misura della diagonale minore, moltiplicarla per la maggiore e dividere per 2. In realtà però il diametro FG è anche altezza del rombo, mentre la base ad essa relativa è il lato BD o AE. Possiamo quindi calcolare l'area A del rombo con la formula di un generico parallelogramma A = b * h:

Per altri problemi riguardanti il rombo, vai a questo link.