domenica 2 ottobre 2011

L'antididattica della matematica: la scomposizione in fattori primi "in ordine"

Ieri mattina, in occasione del ripasso di inizio anno nella mia nuova classe seconda, ho chiesto ai miei alunni se sapessero determinare aritmeticamente il M.C.D. tra 2 o più numeri naturali. Più di una persona ha risposto elencando i vari passaggi da seguire per poter soddisfare la richiesta (a proposito, se non ve lo ricordate, potete rispolverare la memoria cliccando su questo link), e uno dopo l'altro li ho trascritti sulla lavagna affinché tutti potessero avere ben chiara la sequenza dei passaggi.
Per la precisione, bisognava trovare il M.C.D. tra 34 e 15. Alla LIM ho quindi scomposto in fattori primi 34 e 15, scrivendo questo:
Stavo per scrivere le fattorizzazioni dei 2 numeri, quando improvvisamente un alunno piuttosto sveglio mi ha detto: "Prof, scusi, ma c'è un errore!". Ho dato un'occhiata rapida a quanto avevo appena fatto, perché penso che sia sempre giusto mettersi in discussione dinanzi alle obiezioni che qualcuno ci muove, ma non riuscivo a capire a cosa il mio alunno si riferisse. Gli ho detto: "Scusami, L., puoi dirmi dov'è l'errore, perché forse è l'ultima ora del sabato che mi avrà fuso il cervello?" 
L. ha risposto: "è sbagliato, perché quando ha scomposto in fattori primi 15, l'ha diviso prima per 5 e poi per 3! Si fa sempre il contrario, dividendo prima per il divisore primo più piccolo; il prof dell'anno scorso ci diceva che bisogna fare sempre così!"
Ecco, ma come avevo fatto a non pensarci? E' una delle "mode" più in voga presso l'insegnamento della matematica (insieme a quella di credere che la radice quadrata di un numero naturale possa essere positiva o negativa ad libitum...). Spesso ho sentito dire da colleghi che è un errore dividere prima per i numeri più grandi e poi per quelli più piccoli, ma purtroppo io ancora fatico a trovare una motivazione valida. Per la semplice ragione che la moltiplicazione è commutativa, per cui "3 volte 5" o "5 volte 3" danno un prodotto che è sempre 15.
In ogni caso io ho risposto ad L.: "puoi dirmi perché è sbagliato?".
L.: "non lo so! So che è così, ma non ho mai capito il perché".
In effetti non c'è un perché. O meglio, di ragioni potremmo trovarne tante, ma tutte di carattere più o meno "estetico". Magari considerare i divisori dal più piccolo al più grande può mettere un certo ordine mentale... ma perché bisogna dire che è sbagliato fare diversamente? Un conto è dire che è preferibile mettere ordine per evitare di dimenticare qualche divisore, ma in maniera non prescrittiva; un altro è dire che, se non si mette ordine nella scelta dei divisori, allora si commette un errore che l'insegnante dovrà correggere. Basti pensare al caso classico di scomposizione in fattori primi di un multiplo di 10. Se ad esempio devo scomporre 300, qualsiasi insegnante dirà che, siccome il numero "finisce con 2 zeri", allora si potrà dividere per un multiplo di 10, che però dovrò scrivere come 2^n * 5^n. Ciò è corretto, perché in tal caso 300 lo divido per 100, cioè 2^2 * 5^2, ma se tenessi fede all'inspiegabile criterio d'ordine, mi troverei in contraddizione con me stesso perché il passaggio successivo prevederebbe la divisione per 3! In tal caso io mi ritroverei in ordine "sbagliato" i fattori 2, 5, 3!
Sembrano sciocchezze, ma queste cose consolidano nella mente dell'alunno la convinzione che la matematica sia una scienza astrusa, dove certe cose sono vere o false per partito preso, mentre sappiamo bene che questa scienza, pur partendo da principi ritenuti intuitivamente veri (su cui non si fa dimostrazione), si basa su passaggi sequenziali che devono tenere conto di una logica e, soprattutto, di una coerenza. E' come dire che è sbagliato scrivere 7 = 2 + 5, perché bisogna scrivere sempre 5 + 2 = 7.
Non inculchiamo nelle menti dei nostri allievi dei principi che devono accettare come veri senza possibilità di interrogarsi sulla loro validità o meno, altrimenti non faremo mai capire quanto sia importante l'apertura mentale in una disciplina del genere. Motiviamo sempre le nostre scelte o decisioni didattiche, facendo capire quanto sia importante porsi domande con criticità dinanzi a ciò che ci viene propinato quotidianamente.
Liberiamo la mente.