domenica 2 ottobre 2011

L'antididattica della matematica: la scomposizione in fattori primi "in ordine"

Ieri mattina, in occasione del ripasso di inizio anno nella mia nuova classe seconda, ho chiesto ai miei alunni se sapessero determinare aritmeticamente il M.C.D. tra 2 o più numeri naturali. Più di una persona ha risposto elencando i vari passaggi da seguire per poter soddisfare la richiesta (a proposito, se non ve lo ricordate, potete rispolverare la memoria cliccando su questo link), e uno dopo l'altro li ho trascritti sulla lavagna affinché tutti potessero avere ben chiara la sequenza dei passaggi.
Per la precisione, bisognava trovare il M.C.D. tra 34 e 15. Alla LIM ho quindi scomposto in fattori primi 34 e 15, scrivendo questo:
Stavo per scrivere le fattorizzazioni dei 2 numeri, quando improvvisamente un alunno piuttosto sveglio mi ha detto: "Prof, scusi, ma c'è un errore!". Ho dato un'occhiata rapida a quanto avevo appena fatto, perché penso che sia sempre giusto mettersi in discussione dinanzi alle obiezioni che qualcuno ci muove, ma non riuscivo a capire a cosa il mio alunno si riferisse. Gli ho detto: "Scusami, L., puoi dirmi dov'è l'errore, perché forse è l'ultima ora del sabato che mi avrà fuso il cervello?" 
L. ha risposto: "è sbagliato, perché quando ha scomposto in fattori primi 15, l'ha diviso prima per 5 e poi per 3! Si fa sempre il contrario, dividendo prima per il divisore primo più piccolo; il prof dell'anno scorso ci diceva che bisogna fare sempre così!"
Ecco, ma come avevo fatto a non pensarci? E' una delle "mode" più in voga presso l'insegnamento della matematica (insieme a quella di credere che la radice quadrata di un numero naturale possa essere positiva o negativa ad libitum...). Spesso ho sentito dire da colleghi che è un errore dividere prima per i numeri più grandi e poi per quelli più piccoli, ma purtroppo io ancora fatico a trovare una motivazione valida. Per la semplice ragione che la moltiplicazione è commutativa, per cui "3 volte 5" o "5 volte 3" danno un prodotto che è sempre 15.
In ogni caso io ho risposto ad L.: "puoi dirmi perché è sbagliato?".
L.: "non lo so! So che è così, ma non ho mai capito il perché".
In effetti non c'è un perché. O meglio, di ragioni potremmo trovarne tante, ma tutte di carattere più o meno "estetico". Magari considerare i divisori dal più piccolo al più grande può mettere un certo ordine mentale... ma perché bisogna dire che è sbagliato fare diversamente? Un conto è dire che è preferibile mettere ordine per evitare di dimenticare qualche divisore, ma in maniera non prescrittiva; un altro è dire che, se non si mette ordine nella scelta dei divisori, allora si commette un errore che l'insegnante dovrà correggere. Basti pensare al caso classico di scomposizione in fattori primi di un multiplo di 10. Se ad esempio devo scomporre 300, qualsiasi insegnante dirà che, siccome il numero "finisce con 2 zeri", allora si potrà dividere per un multiplo di 10, che però dovrò scrivere come 2^n * 5^n. Ciò è corretto, perché in tal caso 300 lo divido per 100, cioè 2^2 * 5^2, ma se tenessi fede all'inspiegabile criterio d'ordine, mi troverei in contraddizione con me stesso perché il passaggio successivo prevederebbe la divisione per 3! In tal caso io mi ritroverei in ordine "sbagliato" i fattori 2, 5, 3!
Sembrano sciocchezze, ma queste cose consolidano nella mente dell'alunno la convinzione che la matematica sia una scienza astrusa, dove certe cose sono vere o false per partito preso, mentre sappiamo bene che questa scienza, pur partendo da principi ritenuti intuitivamente veri (su cui non si fa dimostrazione), si basa su passaggi sequenziali che devono tenere conto di una logica e, soprattutto, di una coerenza. E' come dire che è sbagliato scrivere 7 = 2 + 5, perché bisogna scrivere sempre 5 + 2 = 7.
Non inculchiamo nelle menti dei nostri allievi dei principi che devono accettare come veri senza possibilità di interrogarsi sulla loro validità o meno, altrimenti non faremo mai capire quanto sia importante l'apertura mentale in una disciplina del genere. Motiviamo sempre le nostre scelte o decisioni didattiche, facendo capire quanto sia importante porsi domande con criticità dinanzi a ciò che ci viene propinato quotidianamente.
Liberiamo la mente.

5 commenti:

  1. non ho capito la storia delle radici
    "(insieme a quella di credere che la radice quadrata di un numero naturale possa essere positiva o negativa ad libitum...)"

    scusa ma sono un appassionato molto ignorante, ma mi interessa sapere quale sia il criterio per determinare il segno.
    tipo: la radice di 4 può essere 2 o -2, c'è un modo per stabilire il segno?

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  2. Ti ringrazio innanzitutto per avermi dato l'idea per un futuro post... :)
    Allora, la ragione è semplice ma bisogna procedere per piccoli passetti per coglierne le sfumature, per cui cercherò di spiegartelo nel modo più semplice possibile (se non ci riesco, mea culpa).
    La radice quadrata di un numero noto x non negativo è definita come quel numero y, anch'esso non negativo, il cui quadrato è proprio x.
    Partendo da questa definizione, viene da sé che la radice quadrata di 4, ad esempio, non può essere -2, perché dev'essere anch'essa non negativa (cioè positiva o al massimo nulla). Tu potresti obiettare che anche -2 * (-2) fa +4, ma se parti da una quantità costante, non puoi servirti di un'operazione aritmetica per arrivare ad un risultato di dubbio amletico.
    Un po' diverso è il caso della radice quadrata di una variabile reale, ad esempio un'ignota variabile che chiamiamo a^2. Affinché la radice quadrata di tale variabile possa essere non negativa, la rad. quad. di a^2 dovrà essere uguale al valore assoluto di a, ossia |a|. Infatti, se non conosciamo il segno di a, nulla ci autorizza a considerarlo automaticamente positivo.
    Spero di essere stato chiaro e di non essermi confuso nel discorso. Bye!

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  3. Ciao Chris, mi interessa quello che dici, sono Aldini il prof. dell'anno scorso della tua seconda D. Il motivo per cui insegnato a scomporre in fattori in ordine, dal fattore più piccolo al più grande, è esclusivamente pratico, per semplificare la ricerca dei fattori comuni e ridurre le possibilità d'errore. Molti libri di testo, fra cui quello in adozione a Meldola, suggeriscono la stessa cosa. Sappiamo che vale la proprietà commutativa, ma io preferisco dare un vincolo in più alla scomposizione in fattori (che è una tecnica convenzionale) per aiutare i ragazzi più deboli e disorientati. Non ricordo però di aver detto che è "sbagliato" seguire un'altra strada, abbiamo solo fissato una convenzione fra di noi, a cui attenerci. Complimenti per il bel sito! Verrò a trovarvi a Meldola prima della fine dell'anno, un saluto, Lorenzo Aldini

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  4. Ciao Lorenzo e piacere di conoscerti (anche se finora solo virtualmente ^__^). Ciascuno di noi deve necessariamente compiere delle semplificazioni di natura didattica, che possono variare di volta in volta a seconda della classe che si ha di fronte, affinché l'apprendimento sia efficace, per cui non ho detto che sia sbagliato procedere in un determinato modo. Non si trattava di una critica personalmente diretta a te, ma ad un atteggiamento piuttosto generalizzato, soprattutto nell'ambito della didattica della matematica, che consiste nella scelta di una determinata strategia, spesso però non accompagnata da una motivazione che risulti convincente per l'alunno.
    Mi metto nei panni dell'alunno e dico: ma perché devo fare per forza in questo modo? Mi rispondo: me l'ha detto il prof. Ora il prof sa perché quella strategia è valida (esempio: per non dimenticare dei fattori) e va seguita, mentre l'alunno continua ad ignorarlo perché magari dentro se lo chiede, ma potrebbe non avere abbastanza coraggio da esternare il dubbio. E' così che spesso si consolida nella sua mente l'idea che quella sia l'unica strada da seguire, ma non perché l'insegnante ha detto che quella è l'unica strategia! :-)
    Mi spiace per il tono un po' aggressivo che può dare adito all'idea che mi stessi rivolgendo a te, ma era in realtà uno sfogo più generale.
    Per quanto riguarda i libri di testo, credo che quello che abbiamo in adozione lì sia veramente uno dei peggiori. Vorrei cambiarlo l'anno prossimo. Si vedrà ;-)
    Spero di risentirti presto, per qualsiasi osservazione o anche consiglio. Il blog è per me un ottimo strumento di feedback, che mi consente di crescere proprio grazie a quello che mi scrivono gli altri.
    Ciao e buon lavoro!
    Chris

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  5. Per il mio "solito estimatore":
    sto rispondendo all'ultimo commento che mi hai inviato, anche se, come vedi, per ora ho deciso di non pubblicarlo. Più che altro, per definirti "estimatore segreto" oppure "solito estimatore", suppongo che tu mi conosca, per cui preferirei che mi dicessi chi sei senza remore, oltrepassando l'anonimato dei commenti, considerando anche il tono piuttosto polemico con cui ti sei "intromesso" nella questione. Risponderò però ai vari punti che mi hai posto, perché è giusto che faccia capire il pensiero che hai espresso:
    - Dal post che ho scritto mi sembra piuttosto chiaro che io, in qualità di insegnante, le motivazioni per una scelta didattica fatta dal precedente insegnante, le ho fornite, e ai miei alunni l'ho detto ("Magari considerare i divisori dal più piccolo al più grande può mettere un certo ordine mentale..."). La questione che si pone è un po' diversa: è sbagliato fare diversamente? No, allora punto, era solo questa la questione. Uno mette sul tavolo le varie possibilità, poi ognuno sceglie il metodo che gli pare, portando le ragioni che gli pare. E soprattutto, non è prescrittivo, perché ogni alunno, poi, può scegliere la strada che gli è più congeniale, se sa quali sono le alternative. Io, personalmente, non ho mai visto i miei alunni andare in crisi per questa cosa, anzi l'hanno sempre accolta molto positivamente e con risultati soddisfacenti.
    - Chiedo venia per aver scritto che si tratta del metodo delle divisioni successive, lo conosco e so benissimo che è diverso, ma, non so come, devo essermi confuso quando l'ho scritto e provvederò a cambiare presto il testo. Ti ringrazio per avermelo segnalato, di disinformazione cerco di farne il meno possibile. Vorrei però anche che i libri di testo di svariati autori mettessero un po' d'impegno in più per evitare certi altri refusi d'impatto disinformativo senz'altro maggiore di quello che può avere il mio blog... Per avere l'età che ho, credo che di passione nel mio lavoro ne sto mettendo abbastanza.
    - Sulla radice avrei piacere di leggere una tua spiegazione che possa illuminarmi, sciogliendo i dubbi con un linguaggio facilmente comprensibile.
    A presto! :-)

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