mercoledì 24 agosto 2011

Rette perpendicolari (Geometria analitica)

Abbiamo visto in un post che 2 rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Come devono essere invece le equazioni di 2 rette perpendicolari? Possiamo dedurre qualcosa riguardo ad una relazione tra i loro coefficienti angolari, in analogia a quanto già visto con le rette parallele? Cerchiamo di dimostrare che ciò è possibile e, in particolare, il coefficiente angolare di una retta dev'essere antireciproco di quello dell'altra.
Consideriamo due rette tra loro perpendicolari per ipotesi, che chiamiamo r e r', scegliendole per semplicità passanti per l'origine. Se m e m' sono i rispettivi coefficienti angolari, vogliamo dimostrare che:
Per comodità scegliamo un punto A su r di ascissa 1, conduciamo per A la perpendicolare all'asse delle ascisse, in modo tale che intersechi l'asse stesso in un punto H e la retta r' in un punto B, entrambi anch'essi di ascissa 1. Tale scelta è piuttosto conveniente ai nostri fini, perché, come abbiamo già visto nel caso della dimostrazione delle rette parallele, un incremento di 1 nell'ascissa di un punto di una retta determina un incremento di m nell'ordinata. Se partiamo quindi dall'origine O(0;0) del sistema di assi ed incrementiamo di 1 la sua ascissa nulla, il nuovo punto di ascissa 1 dovrà avere come ordinata proprio il coefficiente angolare, e questo dovrà valere sia per il punto A su r sia per il punto B su r'. La situazione di H invece è molto più semplice perché esso ha coordinate H(1;0).
Il triangolo AOB così costruito è rettangolo, in quanto r e r' sono perpendicolari per ipotesi. Possiamo così applicare il secondo teorema di Euclide, secondo cui, in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa:
,
Che applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni diventa:
Ma OH = 1, mentre AH e BH rappresentano le ordinate dei punti A e B e, quindi, i coefficienti angolari delle due rette. Avremo pertanto:

Ma se una delle due rette appartiene al I e III quadrante, l'altra, ad essa perpendicolare, dovrà appartenere necessariamente al II e IV quadrante, per cui i loro coefficienti angolari dovranno essere discordi, quindi:


Quindi i coefficienti angolari delle due rette devono essere uno l'antireciproco dell'altro: anti- perché di segno opposto; -reciproco perché l'uno il reciproco dell'altro. Si può trovare anche in questo caso una relazione tra i coefficienti delle equazioni delle due rette scritte in forma implicita, come già visto nel caso delle parallele? La risposta è affermativa. Consideriamo le equazioni di due rette generiche r e r', scritte in forma implicita:


Esse avranno coefficienti angolari:
Se sono perpendicolari, allora:
Se vuoi vedere alcuni esempi di problemi svolti contenenti rette perpendicolari, vai a questo o quest'altro post.