giovedì 4 agosto 2011

Rette parallele (Geometria analitica)

In geometria analitica si può determinare con facilità se due rette siano tra loro parallele o meno. Per capire invece quando due rette sul piano cartesiano possono definirsi perpendicolari, vai a questo link.
Se due rette sono tra loro parallele, allora esse devono avere lo stesso coefficiente angolare. Il concetto è piuttosto intuitivo, dal momento che il coefficiente angolare dà informazioni sulla pendenza di una retta, e se due rette sono parallele esse dovranno avere la stessa direzione. Sappiamo d'altro canto che in matematica non si dimostra un enunciato con un esempio pratico ma con un ragionamento rigoroso (assiomi e postulati a parte... ^__^). Cerchiamo quindi di capirne il motivo con una semplice dimostrazione.
Siano a ed a' due qualsiasi rette tra loro parallele per ipotesi. Se m e m' sono i rispettivi coefficienti angolari, vogliamo dimostrare che:
Disegniamo su un sistema di assi cartesiani ortogonali le due rette generiche, tra loro parallele per ipotesi (vedi figura) e indichiamo con A ed A' le loro intersezioni con l'asse delle ascisse. Per comodità, a partire da questi due punti, individuiamo sull'asse x due segmenti di lunghezza 1, e conduciamo per i punti B e B' individuati due rette perpendicolari all'asse x, che intersecano le rette a ed a' in due punti, che chiameremo C e C'. I due triangoli così costruiti, ABC ed A'B'C', sono congruenti, in quanto AB = A'B' per costruzione, gli angoli A ed A' congruenti perché angoli corrispondenti formati dalle due parallele tagliate da una trasversale (l'asse x), e gli angoli B e B' congruenti perché retti. Sono congruenti quindi per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e, di conseguenza, dovranno avere congruenti anche i lati BC e B'C' ed anche i coefficienti angolari.
Ma perché questo dimostrerebbe che i coefficienti angolari hanno uguale valore?
Il coefficiente angolare di una retta può essere definito come rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti di essa e la differenza delle ascisse degli stessi punti:
Se le ascisse di due punti di una retta differiscono di 1, come ad esempio i punti A e C, oppure A' e C', allora avremo:
Quindi nel passare dal punto A a C (oppure da A' a C') l'ordinata deve aumentare di una quantità proprio uguale al coefficiente angolare. E siccome sia A che A' sono punti dell'asse x, ad ordinata nulla, i punti C e C' avranno come ordinata proprio il coefficiente angolare della relativa retta. E poiché BC = B'C', i coefficienti angolari delle due rette dovranno essere uguali:
Se abbiamo due equazioni di due rette scritte in forma esplicita, è piuttosto immediato il confronto tra i coefficienti angolari. Ricordiamo tuttavia che il coefficiente angolare non è definito per l'asse y né per rette parallele all'asse y, per cui è preferibile trovare un criterio altrettanto immediato ma valido per tutte le rette del piano. Scriviamo quindi le equazioni di due rette qualsiasi in forma implicita:
Esse avranno coefficienti angolari:
Se sono parallele, allora: