martedì 16 agosto 2011

Problema svolto su area della superficie totale e volume di una piramide retta con base quadrangolare

Risolviamo il seguente problema:
In una piramide quadrangolare retta, l'apotema forma con la proiezione sul piano di base un angolo ampio 60°. Sapendo che l'area della superficie di base è 2500 cm^2 , calcola l'area della superficie totale e il volume della piramide.
Risoluzione:
Per ottenere l'area totale della piramide, oltre all'area di base che già conosciamo, è indispensabile conoscere anche l'area della superficie laterale. Quest'ultima è data dalla somma delle aree dei triangoli isosceli delle facce laterali, più semplicemente come:
,
dove p indica il semiperimetro di base ed a l'apotema della piramide.
Il semiperimetro di base si può calcolare determinando prima la lunghezza di uno spigolo di base della piramide, mentre l'altezza relativa alla base non è altro che l'apotema della piramide stessa. Possiamo conoscere gli spigoli di base l, che non sono altro che i lati del quadrato di base, estraendo la radice quadrata dell'area già nota:
Per determinare invece l'apotema della piramide, dobbiamo tenere conto di un altro dato del problema; infatti l'apotema forma un angolo di 60° con la sua proiezione sulla base, per cui l'apotema, l'altezza della piramide e la proiezione dell'apotema sul piano di base formano un triangolo con un angolo di 60° ed un angolo di 30°. Come abbiamo già visto in un post precedente, nei triangoli rettangoli con angoli di 60° e 30°, il cateto minore è la metà dell'ipotenusa. Se la base è quadrata e la piramide è retta, allora la proiezione dell'apotema sulla base dev'essere lunga la metà dello spigolo di base, per cui:
E allora l'ipotenusa, ossia l'apotema della piramide, sarà:
L'area della superficie laterale quindi sarà:
E l'area della superficie totale:
Per il volume la formula è:
Abbiamo bisogno soltanto dell'altezza h della piramide. Essa non è altro che il cateto maggiore del triangolo rettangolo della figura, per cui si può ottenere moltiplicando il cateto minore per la radice quadrata di 3 (se non ricordiamo la formula dall'analisi condotta nel post di cui sopra, possiamo ricavarne la misura col teorema di Pitagora):
Quindi il volume sarà:
Se vuoi vedere qualche esempio di problema con piramidi non rette a base quadrangolare, vai a questo link.

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