sabato 20 agosto 2011

Problema svolto: determinare se un fascio di rette è proprio o improprio e individuare l'equazione di una sua retta perpendicolare ad un'altra

Risolviamo il seguente problema:
E' dato il fascio di rette di equazione: (k - 1)x + (k + 1)y + 2 - k = 0
1) Verificare se il fascio è proprio o improprio;
2) Verificare che la retta r del fascio, perpendicolare alla retta t di equazione 3x - y = 0, passi per l'origine O del sistema di riferimento
3) Calcolare le coordinate dei punti A e B in cui la retta x + y - 4 = 0 interseca, rispettivamente, le rette r e t.
Risoluzione:
1) Innanzitutto, possiamo verificare se il fascio sia proprio o improprio ricavando le equazioni delle due rette generatrici del fascio dall'equazione del fascio, e vedere se esse sono o meno incidenti. Esse sono:
Risolviamo il sistema:
Otteniamo le soluzioni:
Che sono anche le coordinate del centro del fascio, per cui esiste un'intersezione tra le rette e dunque il fascio è proprio.
2) La retta r del fascio, per essere perpendicolare alla retta t, deve avere coefficiente angolare antireciproco di t. Il coefficiente angolare di t si può ottenere facilmente scrivendo l'equazione in forma esplicita, ossia:
Se m = 3 è il coefficiente angolare di t, allora il coefficiente angolare m' di r dev'essere:
Possiamo a questo punto ricavare il valore di k esprimendo m' in funzione di k ed eguagliandolo poi a -1/3, scrivendo prima l'equazione del fascio in forma esplicita:
Eguagliamo m' in funzione di k a -1/3:
Quindi l'equazione di r, sostituendo il valore trovato di k, sarà:
Tale equazione è l'equazione di un retta passante per l'origine; si può verificarlo facilmente ponendo ad esempio y = 0 e si ottiene anche x = 0, per cui la retta passa per l'origine. Avremmo potuto ottenere l'equazione di r più brevemente, imponendo il passaggio della retta per il centro del fascio proprio e poi sostituendo -1/3 al coefficiente angolare ignoto, ma ho preferito seguire la strada meno comoda.
3) Si può mettere l'equazione della retta data a sistema prima con r e poi con t, in modo da ottenere le intersezioni nei punti A e B. Troviamo prima l'intersezione A con la retta r:
Il punto A ha coordinate A(6;-2).
Troviamo le coordinate di B in maniera analoga:
Il punto B quindi avrà coordinate B(1;3).