lunedì 8 agosto 2011

Problema svolto: determinare le equazioni dei lati di un triangolo e dimostrare che è rettangolo

Risolviamo il problema:
I vertici di un triangolo hanno coordinate A(0;3), B(1;4) e C(6;-3). Scrivere l'equazione dei suoi lati e dimostrare che esso è rettangolo.
Risoluzione:
Innanzitutto, individuiamo su un sistema di assi cartesiani ortogonali i vertici del triangolo in oggetto. 
Per determinare l'equazione dei lati, basterà applicare la formula dell'equazione di una retta noti 2 punti di essa, per ciascuna delle rette individuate dai segmenti dei 3 lati. La formula è:
Applichiamola volta per volta a ciascuno dei 3 lati del triangolo.
1) Per la retta su cui giace il lato AB:
E l'equazione è:
2) Per la retta su cui giace il lato BC:
E l'equazione è:
3) Per la retta su cui giace il lato AC:
E l'equazione è:
Ora ci resta da determinare se il triangolo sia o meno rettangolo. Potremmo seguire due strade: dal momento che abbiamo le 3 equazioni, se riusciamo a trovare una coppia di lati tali che le loro equazioni abbiano coefficienti angolari l'uno antireciproco dell'altro, allora vuol dire che il triangolo ha un angolo retto e, pertanto, è rettangolo; oppure determiniamo la lunghezza dei lati e verifichiamo la validità del teorema di Pitagora. Quest'ultimo è un procedimento più lungo perché prima dovremmo trovare la lunghezza dei 3 lati con la formula della distanza tra due punti e poi verificare la validità del teorema di Pitagora. Seguiremo pertanto il primo.
Se osserviamo le equazioni delle rette dei lati AB e AC, notiamo che la prima ha coefficiente angolare uguale a 1, mentre il coefficiente angolare della seconda è -1, il suo antireciproco. Dunque le rette sono tra loro perpendicolari e il triangolo ABC è rettangolo in A.

1 commento:

  1. Ottimo articolo. Volendo essere ancora più veloci nella soluzione del problema, si può osservare che le uniche informazioni che servono sono i coefficienti angolari. Quindi m_AB = (y_b - y_a)/(x_b - x_a) = (4-3)/(1-0) = 1 e m_AC = (y_c - y_a)/(x_c - x_a) = (6-0)/(-3-3) = -1

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