domenica 17 luglio 2011

Problema svolto: determinare le equazioni delle rette tangenti ad una circonferenza di data equazione, passanti per un dato punto

Risolviamo il seguente problema:
Scrivi le equazioni delle tangenti alla circonferenza di equazione x^2 + y^2 + 9y - 9 = 0, condotte dal punto P(3/2;3) e verifica che sono perpendicolari. Determina poi le coordinate dei punti di tangenza e la misura della corda che li congiunge.
Risoluzione:
Il testo ci dice già che per il punto P passano due rette tangenti alla circonferenza data, per cui non è necessario verificare che P sia un punto esterno ad essa. Per il punto P, però, le due tangenti alla circonferenza sono soltanto due delle possibili infinite rette del fascio proprio di centro P, per cui possiamo cominciare scrivendo l'equazione generica che rappresenta tutte le possibili rette del fascio proprio di centro P(x1;y1). La formula è:
Quindi le due tangenti apparterranno al fascio proprio di rette di equazione:
A questo punto possiamo procedere lungo due direzioni distinte ma equivalenti:
1) Mettiamo a sistema l'equazione del fascio proprio di rette con l'equazione della circonferenza e risolviamolo ottenendo un'equazione di secondo grado; poniamo la condizione di tangenza del Δ = 0 ("metodo del delta") e risolviamo l'equazione di secondo grado rispetto al coefficiente angolare m, ottenendo i valori di m per le due tangenti.
2) Consideriamo l'equazione della distanza di un punto (il centro) da ciascuna delle due tangenti partendo dal presupposto che il raggio di ogni circonferenza sia perpendicolare alla tangente nel punto di contatto. Nella fattispecie, eguagliamo l'equazione della distanza del centro dalle rette del fascio al raggio.
Entrambi i metodi sono validi ma spesso conviene di più il secondo perché il primo può risultare poco pratico nella risoluzione del sistema iniziale. Utilizziamo quindi il secondo metodo, per cui innanzitutto ci conviene determinare le coordinate del centro e la lunghezza del raggio della circonferenza.
Il centro ha coordinate C(0;-9/2).
Determiniamo la lunghezza del raggio:
Scriviamo l'equazione del fascio proprio di rette in forma implicita:
Scriviamo l'equazione della distanza del centro dalle rette del fascio, eguagliandola al raggio:
Sostituiamo i valori ed otteniamo:
Risolvendo (e saltando qualche passaggio) si arriva all'equazione di secondo grado:
Dividendo tutto per 18 otteniamo:
Risolta la quale, otteniamo i due valori di m:
Le due rette tangenti quindi hanno i coefficienti angolari l'uno antireciproco dell'altro, per cui ciò dimostra che sono perpendicolari.
Scriviamo le equazioni delle due rette tangenti sostituendo al posto di m i due valori ricavati. Arriviamo alle equazioni in forma esplicita:
A questo punto mettiamo a sistema ciascuna delle due equazioni con l'equazione della circonferenza per ottenere le coordinate dei punti di tangenza. 
La prima retta:
Risolto il sistema (non scrivo i passaggi perché altrimenti farei notte... ^__^) si ottengono le coordinate del punto di tangenza A(9/2;-3/2)
La seconda retta:
Risolto il sistema si ottengono le coordinate del punto di tangenza B(-3;0).
La lunghezza della corda AB si può determinare con la formula della distanza tra due punti:
E otterremo: