mercoledì 29 giugno 2011

Problema svolto sul rombo: determinare il perimetro nota l'area ed il rapporto tra le diagonali

Risolviamo il seguente problema:
In un rombo l'area misura 72 cm^2 e il rapporto tra le diagonali è pari a 3/4 (tre quarti). Determina il perimetro del rombo.
Risoluzione:
In questo problema è molto importante disegnare bene la figura, che ci consentirà di risolverlo mediante il metodo del segmento, che è ampiamente utilizzato nella scuola media.
Se osserviamo il disegno, la diagonale minore, che indichiamo con d, e la diagonale maggiore, che indichiamo con d', stanno tra loro in un rapporto di 3 : 4. Se conosciamo l'area del rombo, in tal caso di 72 cm^2, possiamo semplicemente considerare che un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo avente come dimensioni le due diagonali del rombo. Tale rettangolo, evidenziato in azzurro in figura, avrà pertanto area pari a 72 * 2 = 144 cm^2.
Se ora quadrettiamo il foglio utilizzando come unità lineare il segmento u contenuto 3 volte nella diagonale minore e 4 volte nella maggiore, osserviamo che tale superficie rettangolare, di area 144 cm^2, è estesa su 3 * 4 = 12 unità quadrate, ossia 12 quadrati congruenti a quello che ho evidenziato in neretto in figura. Se suddividiamo i 144 cm^2 di superficie tra i 12 quadrati, otterremo l'area di ciascun quadrato, che chiameremo Aq:
La radice quadrata dell'area di ciascuno di questi quadrati quindi sarà la lunghezza del lato u di ogni quadrato, ossia dell'unità contenuta 3 volte nella diagonale minore e 4 volte nella maggiore:
Per poter calcolare il perimetro è necessario conoscere il lato e possiamo farlo col teorema di Pitagora. Infatti metà diagonale maggiore e metà diagonale minore costituiscono i due cateti di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato l del rombo:
E il perimetro 2p sarà: