sabato 4 giugno 2011

Problema svolto sui solidi composti: determinare area della superficie totale e volume di un cilindro con cavità conica

Risolviamo il seguente problema:
In un cilindro, che ha l'area della superficie laterale di 540π cm^2, il rapporto tra il raggio di base e l'altezza è 3/10; in esso viene praticata una cavità conica, con la base coincidente con una base del cilindro, la cui profondità misura 12 cm; calcola l'area della superficie totale e il volume del solido.
Risoluzione:
Partiamo come sempre dalle richieste, ossia area della superficie totale (che abbrevieremo con area totale) e volume di questo solido composto, e partiamo dal volume. Dal momento che in questo cilindro è stata praticata una cavità conica, prima ci converrà calcolare il volume del cilindro, poi quello del cono, che andremo a sottrarre al primo.
Indichiamo con Sb l'area di base, Sl l'area laterale, St l'area totale, V i volumi.
La formula per calcolare il volume del cilindro è:
,
mentre quella per il volume del cono è:
,
per cui il volume del solido sarà:
Ma come possiamo trovare sia l'area di base che l'altezza? Intanto notiamo che abbiamo l'area della superficie laterale del cilindro, per cui possiamo risalire all'altezza:
Ma questo significa che:
,
cioè che il rettangolo avente per base ed altezza rispettivamente il raggio di base e l'altezza del cilindro, ha area pari a 270 cm^2, ma la sua base (il raggio) è 3/10 dell'altezza (altezza del cilindro), come si può vedere in figura accanto. Di conseguenza l'area di 270 cm^2 sarà distribuita su una superficie di 3 * 10 = 30 unità quadrettate, ciascuna delle quali quindi avrà area di 9 cm^2. Estraendo la radice quadrata dell'area di ogni quadrato, cioè 9 cm^2, si otterrà la lunghezza del lato, ossia 3 cm. Tale unità sarà contenuta 3 volte nel raggio di base e 10 volte nell'altezza, quindi avremo:
Conoscendo ora il raggio di base, possiamo determinare l'area della base Sb, cerchio comune ai due solidi.
Abbiamo l'altezza del cono h2 perché il testo ci dice che la cavità ha profondità di 12 cm, per cui:
Resta ora da determinare l'area totale. Per essa è indispensabile considerare soltanto l'area laterale del cilindro, la sua area di base presa una sola volta, visto che il solido è cavo, e in più l'area della superficie laterale del cono, secondo la formula:
L'unica cosa che ci resta da calcolare è l'area laterale del cono, la cui formula è:
,
dove a è l'apotema del cono. Ci servirà proprio quest'ultimo per poter risalire all'area laterale, ma possiamo trovarlo agevolmente col teorema di Pitagora, tenendo presente che l'apotema, l'altezza ed il raggio di base, formano rispettivamente ipotenusa e cateti del triangolo rettangolo che genera il cono dato. Avremo:
,
L'area della superficie totale del solido sarà: