giovedì 16 giugno 2011

Massimo Comune Multiplo e minimo comune divisore: crisi d'identità o seria riflessione?

Sappiamo benissimo cosa sono e cosa significano il M.C.D. (massimo comune divisore) e il m.c.m. (minimo comune multiplo), qual è il loro significato aritmetico e l'algoritmo per determinare sia il primo che il secondo. Ci siamo mai chiesti però se possa esistere un Massimo Comune Multiplo? La domanda è lecita e, a dire il vero, mi è stata posta proprio da un mio alunno quest'anno. Soprattutto, a mio avviso, è un'osservazione interessante, che fa capire quanto sia importante in matematica porsi delle domande al di là di quello che spesso si propina come lezione da imparare perché-è-così-punto-e-basta.
In effetti, a ben pensarci, se il minimo comune multiplo rappresenta il più piccolo dei multipli che due o più numeri hanno in comune (eccetto 0, che è il vero minimo comune multiplo tra tutte le possibili combinazioni di numeri naturali, ma servirebbe a ben poco, in particolare per la risoluzione di situazioni problematiche), il Massimo Comune Multiplo dovrebbe essere il più grande tra i possibili multipli che due o più numeri hanno in comune. Vediamo se è possibile trovarlo osservando i multipli comuni a due numeri, ad esempio 60 e 20 per comodità; i multipli comuni ai due numeri, a partire dal minimo, sono evidenziati in blu.




Come si può vedere, il minimo comune multiplo, cioè il più piccolo tra i multipli comuni, è 60, ma non si riuscirà mai a trovare un massimo comune multiplo, dato che i multipli di un numero naturale qualsiasi, diverso da 0, sono infiniti, per cui si riuscirà sempre a trovare un multiplo comune maggiore di un multiplo comune precedentemente trovato. In tal caso, anche 120 è un multiplo comune, né minimo né massimo, perché anche 180 è un altro multiplo comune, maggiore di 120 ma minore di 240, e così via.
E cosa si può dire invece di un ipotetico minimo comune divisore? Beh, semplicemente si tratta del più piccolo divisore possibile comune a due o più numeri naturali, che è sempre 1. Se infatti consideriamo un esempio molto semplice, come la coppia di numeri 2 e 10, i loro divisori sono:


I numeri in blu rappresentano tutti i divisori comuni a questi due numeri. Il più grande dei divisori comuni, ossia il loro M.C.D., è 2, ma il più piccolo è 1.
Concludiamo pertanto che un Massimo Comune Multiplo tra due o più numeri naturali non sarà mai possibile trovarlo, mentre un minimo comune divisore sì, ed è sempre 1.


3 commenti:

  1. Si chiede spesso agli studenti di fare domande sensate; ma cosa è realmente sensato? Chi stabilisce il limite tra sensato ed indensato? Difficile e molto spesso impossibile. Da una domanda apparentemente insensata può venir fuori tutta una serie di riflessioni, di osservazioni e di scoperte che colui che "indossa il cappello della sensatezza", non avrebbe mai potuto neanche immaginare. Da una domanda perlomeno "bizzarra" e, direi io, "originale", nel senso che non segue la corrente, può venir fuori un bellissimo articolo come questo, didatticamente istruttivo.
    Complimenti al Chris.
    Un saluone
    Marco

    PS:
    Quando hai tempo mi interesserebbe un tuo parere su questo

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  2. Scusa alcuni errori-orrori di battitura dovuti alla velocità ed alla fretta.

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  3. conosci la possibilità di calcolare il MCD senza fare ricorso alla scomposizione in fattori primi? e senza nemmeno fare divisioni (né moltiplicazioni), ma solo sottrazioni e confronti? dati A e B, si sottrae il più piccolo dal più grande ottenendo |A-B|; a questo punto si prende il risultato ottenuto e il minore fra A e B, e si procede allo stesso modo con questi due nuovi numeri, finché si ottengono 2 numeri uguali fra loro: quello è il MCD dei numeri di partenza A e B (e di tutte le coppie usate nel calcolo); sicuramente è un procedimento più lungo, ma più elementare :)

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