giovedì 16 giugno 2011

Massimo Comune Multiplo e minimo comune divisore: crisi d'identità o seria riflessione?

Sappiamo benissimo cosa sono e cosa significano il M.C.D. (massimo comune divisore) e il m.c.m. (minimo comune multiplo), qual è il loro significato aritmetico e l'algoritmo per determinare sia il primo che il secondo. Ci siamo mai chiesti però se possa esistere un Massimo Comune Multiplo? La domanda è lecita e, a dire il vero, mi è stata posta proprio da un mio alunno quest'anno. Soprattutto, a mio avviso, è un'osservazione interessante, che fa capire quanto sia importante in matematica porsi delle domande al di là di quello che spesso si propina come lezione da imparare perché-è-così-punto-e-basta.
In effetti, a ben pensarci, se il minimo comune multiplo rappresenta il più piccolo dei multipli che due o più numeri hanno in comune (eccetto 0, che è il vero minimo comune multiplo tra tutte le possibili combinazioni di numeri naturali, ma servirebbe a ben poco, in particolare per la risoluzione di situazioni problematiche), il Massimo Comune Multiplo dovrebbe essere il più grande tra i possibili multipli che due o più numeri hanno in comune. Vediamo se è possibile trovarlo osservando i multipli comuni a due numeri, ad esempio 60 e 20 per comodità; i multipli comuni ai due numeri, a partire dal minimo, sono evidenziati in blu.




Come si può vedere, il minimo comune multiplo, cioè il più piccolo tra i multipli comuni, è 60, ma non si riuscirà mai a trovare un massimo comune multiplo, dato che i multipli di un numero naturale qualsiasi, diverso da 0, sono infiniti, per cui si riuscirà sempre a trovare un multiplo comune maggiore di un multiplo comune precedentemente trovato. In tal caso, anche 120 è un multiplo comune, né minimo né massimo, perché anche 180 è un altro multiplo comune, maggiore di 120 ma minore di 240, e così via.
E cosa si può dire invece di un ipotetico minimo comune divisore? Beh, semplicemente si tratta del più piccolo divisore possibile comune a due o più numeri naturali, che è sempre 1. Se infatti consideriamo un esempio molto semplice, come la coppia di numeri 2 e 10, i loro divisori sono:


I numeri in blu rappresentano tutti i divisori comuni a questi due numeri. Il più grande dei divisori comuni, ossia il loro M.C.D., è 2, ma il più piccolo è 1.
Concludiamo pertanto che un Massimo Comune Multiplo tra due o più numeri naturali non sarà mai possibile trovarlo, mentre un minimo comune divisore sì, ed è sempre 1.