lunedì 11 aprile 2011

Due rette parallele non hanno mai alcun punto in comune... o li hanno tutti!

Tutti a scuola, prima alle elementari, poi alle medie, poi alle superiori, abbiamo studiato il parallelismo tra due o più rette nella geometria euclidea. Sappiamo tutti (o quasi...) disegnare due rette parallele, sappiamo che due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro; sappiamo inoltre fornire esempi concreti di oggetti che ci ricordano due rette parallele, in primis quello classico dei binari di una ferrovia, ma sappiamo davvero definire cosa sono due rette parallele? 
La risposta classica, maggiormente diffusa, è di considerare come rette parallele due rette che, come si suol dire, prolungate all'infinito non s'incontrano mai. Questa risposta rende bene l'idea ma non suona rigorosa. Potremmo ad esempio affermare che sono parallele due rette che non sono incidenti, ossia due rette che non hanno alcun punto d'intersezione, e la risposta sarebbe senz'altro più rigorosa. Non si può dire che questa risposta sia approssimativa o scorretta, anzi. E' però una di quelle piccole cose che minano alle fondamenta uno dei cardini su cui si regge il ragionamento matematico: la coerenza. Facciamo un esempio per capire meglio cosa s'intende dire.
Ogni figura geometrica è parallela a sé stessa, per cui il parallelismo è considerato una relazione riflessiva. Ciò è vero, e basta considerare intuitivamente che se una figura è parallela a sé stessa, vuol dire che ciascun punto di essa deve mantenere una distanza dal punto corrispondente dell'altra figura (cioè sempre sé stessa) sempre uguale, in tal caso pari a 0, altrimenti la figura dovrebbe contemporaneamente avere la sua stessa forma ed un'altra diversa, che non è possibile.
Se però ogni figura è parallela a sé stessa, allora anche una retta può essere considerata parallela a sé stessa. Se quindi consideriamo una retta r ed un'altra s coincidente con essa, tali rette avranno tutti i punti in comune, ma essendo coincidenti, ciascun punto della prima coincide col corrispondente punto della seconda, per cui le due rette manterranno tra loro sempre la stessa distanza. Dunque le due rette sono parallele ma contemporaneamente hanno tutti i punti in comune!
Questa conclusione a cui si giunge crea spesso disorientamento negli studenti di scuola, per i quali è molto importante la coerenza in matematica. Se prima si dice agli studenti che due rette parallele non s'incontrano mai oppure non hanno alcun punto in comune, l'esempio di due rette coincidenti finisce per scardinare totalmente questa certezza neoacquisita, soprattutto nelle menti degli studenti più svegli ed attenti, per cui trovano una forte contraddizione in un esempio di due rette che devono dirsi parallele, perché in effetti "non si può negare l'evidenza", ma nel contempo hanno addirittura tutti i punti in comune!
Non è sbagliato dire che due rette parallele non abbiano alcun punto in comune, a patto però che si faccia la precisazione, come a volte è scritto in alcuni testi, che due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune o se sono coincidenti.
Tale definizione, seppur più corretta ed esauriente, non si presenta tuttavia "elegante e/o gradevole". Si potrebbe affermare, in maniera più sintetica, che due rette si dicono parallele quando hanno sempre la stessa distanza relativa, oppure quando hanno la stessa direzione. Così facendo, sono contemplati tutti i casi. Nessuno escluso.
Nell'immagine realizzata con Geogebra si può vedere che la retta a, distante 1,25 unità dalla parallela b e 0,28 unità dalla retta e, ha distanza 0 unità dalla retta g, coincidente nonché parallela ad essa.

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