domenica 20 febbraio 2011

Problema svolto su quadrilateri circoscritti ad una circonferenza: determinare perimetro ed area di un trapezio circoscritto

Risolviamo il seguente problema:
Un trapezio isoscele ha gli angoli acuti di 45° ed è circoscritto ad una circonferenza il cui diametro misura 29 cm. Determina perimetro ed area del trapezio.
Risoluzione:
Il trapezio isoscele in questione ha altezza h esattamente pari al diametro d della circonferenza, quindi h = d = 29 cm. 
Trovata l'altezza, ci serve soltanto la somma delle basi per poter determinare l'area, mentre per il perimetro, oltre alla somma delle due basi, ci serve anche la somma dei due lati obliqui; infatti un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due lati opposti. 
Osservando la figura (leggermente imprecisa, aggiungo), ci si può rendere conto facilmente che, se costruiamo un quadrato avente come diagonale il lato obliquo AD, l'altezza del trapezio sarà il lato di tale quadrato. Siccome per il teorema di Pitagora in un quadrato il lato l e la sua diagonale d' (da non confondere con il diametro d) sono legati dalla formula:
,
avremo che in questo trapezio il lato obliquo AD è:
Siccome il trapezio è isoscele, i lati obliqui sono congruenti, quindi:
E poiché è circoscritto alla circonferenza, la somma di tali due lati opposti dovrà risultare uguale alla somma degli altri due lati opposti:
Il perimetro 2p quindi sarà:
Per l'area ricordiamo la formula e sostituiamo i valori della somma delle basi e dell'altezza, ricordando quanto scritto sopra: