domenica 23 gennaio 2011

Le api, architetti della natura: la matematica delle celle del favo

Abbiamo già avuto modo di vedere nel post "Le api, geometri della natura", come questi straordinari insetti sappiano mettere inconsapevolmente in atto delle grandi capacità geometriche nel comunicarsi la posizione esatta in cui si trova una fonte di cibo, e una scoperta piuttosto recente ha anche dimostrato quanto sia importante per esse riposare, affinché la danza dell'addome possa comunicare in maniera efficace il messaggio.
Le abilità matematiche delle api, tuttavia, non si limitano a questo. Vi siete mai chiesti come mai le celle del favo abbiano tutte una sezione di forma esagonale? La matematica può fornirci la risposta che cerchiamo.
Chiariamo innanzitutto che ogni cella del favo NON è un esagono regolare, in quanto viviamo in un mondo tridimensionale, per cui triangoli, quadrati, esagoni, ecc., che sono tutte figure bidimensionali, esistono soltanto nella nostra mente. Si tratta infatti di prismi esagonali, in particolare di prismi la cui sezione trasversale è un esagono regolare, ossia con tutti i lati della stessa lunghezza e tutti gli angoli della stessa ampiezza di 120°. 
L'esagono regolare è uno dei  3 poligoni regolari che, se ripetutamente posti l'uno accanto all'altro, riescono a realizzare una tassellatura del piano, ossia riescono a ricoprirlo interamente senza sovrapposizioni e senza lasciare spazi vuoti. Si può tassellare (in termini più semplici pavimentare) una superficie piana con la ripetizione di uno stesso motivo che può essere soltanto un triangolo equilatero, un quadrato o un esagono regolare. 
Tassellatura con triangoli equilateri
In base a tali considerazioni, la tassellatura in due dimensioni di un favo potrebbe essere in teoria rappresentata benissimo anche da sezioni delle celle di forma triangolare o quadrata, ma nessuno di noi ha mai osservato celle quadrate o triangolari! Ci chiediamo il perché?
Per poter tassellare una superficie con triangoli equilateri tutti uguali, bisogna fare in modo che 6 triangoli abbiano sempre un vertice in comune, affinché 6 * 60° = 360°, ossia non si lascino porzioni di superficie vuote.
Se utilizziamo dei quadrati, allora in ogni vertice dovranno convergere sempre 4 quadrati, affinché 4 * 90° = 360°.
Tassellatura con quadrati
Infine, se si utilizzano degli esagoni regolari, ogni vertice sarà comune a 3 esagoni, in modo che 3 * 120° = 360°.
Al di là del fatto che in tutti e tre i casi si riesce a ricoprire uniformemente la superficie senza lasciare spazi vuoti nè sovrapporre i poligoni, le tre situazioni presentano una differenza sostanziale: cambia il perimetro complessivo.
Se non avete ancora ben compreso il concetto, potete capirlo in un modo diverso: impiegate più tempo (e più inchiostro) a tassellare un foglio da disegno disegnando tutti triangoli o tutti esagoni? Sicuramente triangoli, perché da ciascun vertice si dovrà far uscire un numero di 6 segmenti, mentre per la tassellatura con esagoni da ogni vertice si dovranno far uscire soltanto 3 segmenti!
Tassellatura con esagoni regolari
Se questo concetto lo trasferiamo alle tre dimensioni, possiamo dedurne che ci vuole molta più cera per costruire le pareti di un favo le cui celle sono prismi triangolari rispetto a quanta ce ne vorrebbe per costruire pareti di un favo con celle a forma di parallelepipedo rettangolo, e ancora meno cera è necessaria per creare un favo con prismi esagonali. Ne deriva anche che lo spazio occupato da una cella a forma di prisma esagonale presenta meno "pareti" rispetto a quante ce ne sarebbero se al posto di esso ci fossero 6 prismi triangolari, per cui oltre a ridurre la quantità di cera si ottimizza anche l'immagazzinamento di miele all'interno delle celle!
Il matematico Pappo di Alessandria (IV sec. d. C.), nella sua opera Collectiones mathematicae, fu uno dei primi studiosi ad interessarsi ad una trattazione matematica della forma esagonale delle celle delle api. Pappo osservò che la forma ad esagono regolare, rispetto ad altre possibili pavimentazioni del piano, ha il massimo rapporto area/perimetro per ogni cella. Il discorso può estendersi anche alla terza dimensione, in altezza.
Un'ultima indispensabile precisazione: le api ogni giorno continuano a costruire i loro favi secondo un'ottimale organizzazione matematica dello spazio, ignorandone tuttavia le leggi matematiche! Sanno "fare matematica" in modo magistrale ma inconsapevole, per cui è ancora una volta la selezione naturale l'artefice di un'organizzazione animale così degna d'ammirazione da parte nostra.