venerdì 21 gennaio 2011

I monomi

In algebra un monomio può essere definito come un'espressione algebrica in cui compaiono soltanto operazioni di moltiplicazione. Non è sbagliato affermare che compaiano anche operazioni di elevamento a potenza, ma in realtà elevare a potenza significa moltiplicare per sè stesso un numero o una grandezza un certo numero di volte. In un monomio quindi non possono esserci per definizione né operazioni di addizione o sottrazione, né divisione (tra lettere), ed è importante che l'esponente di eventuali potenze (delle lettere) sia un numero naturale.
In generale si può dire che in un monomio ci sia una parte numerica, chiamata anche coefficiente numerico, ed una parte letterale, moltiplicati tra loro come nei seguenti casi:
Ma quand'è che abbiamo a che fare con i monomi? Solo quando studiamo il capitolo dal titolo omonimo e dobbiamo risolvere lunghe espressioni algebriche o anche in altri casi?
Un esempio pratico di monomi è fornito dalle formule per determinare l'area della superficie di parallelogrammi o triangoli. La formula per l'area della superficie del triangolo è infatti un monomio:

E' tuttavia riduttivo sostenere che in un monomio debba necessariamente comparire un coefficiente numerico ed una parte letterale, perché sono esempi di monomi particolari anche i soli numeri naturali, come: 
oppure delle semplici lettere prive apparentemente di una "compagnia numerica":

Infatti, nel primo caso si può immaginare che i numeri naturali siano i coefficienti numerici di monomi le cui parti letterali sono formate da una o più lettere qualsiasi con esponente 0; nel secondo caso possiamo pensare che le lettere siano le parti letterali di monomi il cui coefficiente numerico è sempre 1, che per semplicità e convenzione viene sottinteso in questi casi.
Ogni monomio ha un grado, ma vanno fatte delle distinzioni sin da subito:
1) Il grado di un monomio rispetto ad una sua lettera è l'esponente con cui quella lettera è presente nel monomio. Esempio: il grado di 3bx^2 rispetto a b è 1 rispetto a b, mentre è 2 rispetto a x.
2) Il grado complessivo del monomio intero è la somma degli esponenti di tutte le lettere presenti nel monomio. Esempio: il grado complessivo di 3bx^2 è 3 perché ottenuto dalla somma degli esponenti di b e x, rispettivamente 1 + 2 = 3.

E se abbiamo ad esempio il monomio 18, che grado avrà, visto che non ci sono lettere? Esso avrà grado 0, in quanto si può immaginare che vi sia con esso una (o più) lettera con esponente 0: dobbiamo infatti ricordare che qualsiasi potenza con esponente 0 (e base diversa da 0), dà come risultato 1, che in tal caso nel monomio è sottinteso e quindi compare il solo numero 18: