giovedì 18 novembre 2010

Problema svolto sull'area della superficie totale di un prisma retto

Risolviamo il seguente problema:
La base di un prisma retto è un triangolo rettangolo. Sapendo che la somma e la differenza dei cateti di base misurano 97 cm e 71 cm, e che il volume del solido è di 14.742 cm^3, calcola l'area della superficie totale del prisma.
Per risolvere questo problema è indispensabile conoscere l'area della superficie laterale e di base. Se decidiamo di cominciare da quest'ultima, allora dobbiamo calcolare l'area della superficie del triangolo rettangolo alla base del prisma.
Poichè non conosciamo la lunghezza dei due cateti, del triangolo di base, rappresentiamoli graficamente della lunghezza che vogliamo noi.
Se leggiamo bene il testo del problema, constatiamo che abbiamo come dati somma e differenza dei cateti, quest'ultima rappresentata dal segmento DB in figura; tale situazione problematica è in tutto e per tutto analoga a quella che ho presentato in un altro problema, in cui i segmenti di cui si conosce somma e differenza sono invece le diagonali di un rombo.
Dunque, seguendo l'analogia del problema di cui ho riportato il link, possiamo sottrarre il segmento differenza al segmento somma e dividere per due ciò che rimane. Dividendo quindi per le 2 parti la differenza ottenuta, otterremo la lunghezza di ciascuna di queste due parti, che sono lunghe proprio quanto il cateto minore. In linguaggio aritmetico:

Quindi il cateto maggiore AB sarà:

A questo punto, poiché il triangolo è rettangolo, i due cateti saranno rispettivamente base ed altezza del triangolo, di cui possiamo calcolare l'area, che a sua volta è l'area della superficie di base del prisma:

Vediamo ora come determinare l'area della superficie laterale.

Ritagliando un prisma retto lungo l'altezza
si ottiene un rettangolo con altezza pari a
quella del prisma e base pari al perimetro
di base
Per determinare l'area della superficie laterale sarà sufficiente moltiplicare l'altezza del prisma per il perimetro del triangolo di base (vedi fig. a lato), per calcolare il quale serve la lunghezza dell'ipotenusa, ottenibile a sua volta tramite il teorema di Pitagora:

Il perimetro di base: 

L'altezza del prisma si può ottenere dividendo il volume per l'area di base:

E l'area della superficie laterale: 


L'area della superficie totale sarà quindi pari alla somma dell'area laterale più due volte l'area di base:

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