mercoledì 20 ottobre 2010

La scomposizione in fattori primi

Un numero naturale può essere classificato come primo o composto in base a "quantità e qualità" dei suoi possibili divisori. Infatti:
1) Un numero naturale si dice primo se ammette come divisori soltanto 1 e sè stesso
2) Un numero naturale si dice composto se ammette almeno un altro divisore oltre a 1 e sè stesso
Se un numero naturale è composto, quindi, l'aggettivo stesso ci suggerisce che si possa "scomporre"... ma in cosa? E' semplice: se un numero non è primo, allora si otterrà dal prodotto di numeri primi! Di conseguenza, ogni numero composto può essere scomposto nel prodotto di fattori primi.
I metodi più utilizzati per la scomposizione in fattori primi di un numero composto sono due:
1) Metodo grafico del diagramma ad albero.
2) Metodo non grafico.
Il primo metodo è più intuitivo e adatto a chi familiarizza con le schematizzazioni grafiche, ma è più dispersivo soprattutto quando un numero ha molti divisori, per cui si corre il rischio di occupare mezza pagina di quaderno soltanto per un diagramma ad albero! Spiegherò questo metodo in un altro articolo.
Il secondo è senz'altro quello più pratico, perché più sbrigativo e sintetico. Esso prevede l'esecuzione di una sequenza di divisioni da eseguire sul numero da scomporre, utilizzando appropriati divisori, ciascuna delle quali utilizza come dividendo il quoziente della divisione precedente, finché non si arriva ad 1, che è il più piccolo divisore possibile di un numero naturale.
Facciamo un esempio:
1) Scriviamo il numero da scomporre e tracciamo una linea (di divisione) verticale di una certa lunghezza:
2) Ricordandoci i criteri di divisibilità (se non li ricordi, vai al seguente link sui criteri di divisibilità da quello per 2 a quello per 11), cominciamo a dividere il numero per un suo divisore. E' importante che il divisore sia un numero primo, infatti bisogna scomporre il numero "in fattori primi" (altrimenti, se si vuole dividere per un numero non primo, si dovrà esprimere questo numero come prodotto di fattori primi già all'interno della fattorizzazione). A mano a mano che si ottengono i risultati delle divisioni, ripetiamo lo stesso procedimento, finché non si arriva ad un numero primo, che potremo ovviamente dividere solo per sé stesso, visto che dividendolo per 1 riotterremmo lo stesso numero. Es.:
3) Quando arriviamo ad 1, abbiamo finito il procedimento di scomposizione. Come si può vedere, a destra figurano solo fattori primi: 2, 3 e 17.
Adesso bisogna scrivere, in maniera sintetica, il risultato della scomposizione in fattori primi, che si chiama fattorizzazione, ossia la scrittura del numero di partenza come prodotto (di potenze) di fattori primi. Es.:
Se nella scomposizione figura due o più volte lo stesso fattore, nella fattorizzazione bisognerà scriverlo in forma di potenza. Es.: