mercoledì 27 ottobre 2010

Quante altezze ha un triangolo? Domanda da un milione di euro (non vinti...)

Quante altezze ha un triangolo? Questa domanda - apparentemente banale per chi ha quotidianamente a che fare con la geometria - oltre ad essere una di quelle più gettonate quando un prof vuole mettere in seria difficoltà un alunno (scherzo... ^__^), è stata anche rivolta ad una concorrente del quiz televisivo "Chi vuol essere milionario?" qualche anno fa, con l'unica variante di porre il quesito riferendosi ad un triangolo specificamente rettangolo. La risposta, come ben si sa, è però valida per qualsiasi triangolo, sia esso acutangolo, rettangolo o ottusangolo.
Prima di esporre alcune mie considerazioni didattiche in merito all'argomento, vi invito innanzitutto a guardare con attenzione il video "incriminato"...

Qual è stata la vostra reazione? E' chiaro che la risposta data, insieme alla modalità con cui viene esposta, faccia davvero sorridere! 
Sappiamo tutti (o quasi...) che in un qualsiasi triangolo le altezze sono sempre tre, poiché per altezza di un triangolo si intende il segmento di perpendicolare che ha per estremi un vertice qualsiasi del triangolo ed il punto in cui tale segmento interseca il lato opposto (vedi figura: le tre altezze sono indicate con la lettera h). Il punto in cui esse si intersecano viene denominato ortocentro.
Ma volendo un attimo vestire i panni di avvocati del diavolo, la risposta della concorrente, al di là dell'esposizione pessima (ma d'altronde è giustificabile in quanto avrà abbandonato il mondo della matematica da un bel po'...), è davvero concettualmente e completamente errata? Certo, non l'ha minimamente sfiorata la possibilità di considerare come base anche ciascuno degli altri due lati, ma rovesciando i punti di vista, possiamo affermare che la domanda è stata davvero ben posta dagli autori del quiz show? L'alternativa: "Infinite" non è forse un distrattore un po' troppo ardito?
Un matematico direbbe che la domanda è ben posta perché non c'è alcun dubbio sul fatto che le altezze di un triangolo debbano essere solo tre... ma forse intendiamo dire che ci sono tre direzioni possibili di altezze? Se per tracciare un'altezza relativa ad un lato ho bisogno di individuare un segmento di perpendicolare che lo congiunga al vertice opposto, non potrò anche condurre una parallela a questo lato passante per tale vertice e successivamente misurare uno qualsiasi degli infiniti segmenti di perpendicolare delimitati (vedi figura sotto)? La sua lunghezza sarà sempre la stessa, anche se i segmenti interessano parti distinte di uno stesso piano.
E' dunque questione di punti di vista, semantica ed anche un po' di apertura mentale. D'altronde, se consideriamo ad esempio un rettangolo, a nessuno è mai venuto il dubbio sul fatto che si possano condurre infiniti segmenti di perpendicolare ("l'altezza", appunto), tutti di uguale lunghezza, tra le due "basi". Allora perché dovrebbe essere sbagliato per un triangolo? 
Certo, un cambiamento ci sarebbe, perché a questo punto ci troveremmo in difficoltà nell'individuazione dell'ortocentro!
Allora si potrebbe cominciare a distinguere tra un significato di altezza come grandezza ed altezza come ente geometrico...
La matematica non è un'opinione, ma a volte un'opinione in più potrebbe rendere la matematica meno scontata ai nostri occhi, e finiremmo di contrapporla alla filosofia, di cui in realtà è figlia. ^__^