mercoledì 27 ottobre 2010

Quante altezze ha un triangolo? Domanda da un milione di euro (non vinti...)

Quante altezze ha un triangolo? Questa domanda - apparentemente banale per chi ha quotidianamente a che fare con la geometria - oltre ad essere una di quelle più gettonate quando un prof vuole mettere in seria difficoltà un alunno (scherzo... ^__^), è stata anche rivolta ad una concorrente del quiz televisivo "Chi vuol essere milionario?" qualche anno fa, con l'unica variante di porre il quesito riferendosi ad un triangolo specificamente rettangolo. La risposta, come ben si sa, è però valida per qualsiasi triangolo, sia esso acutangolo, rettangolo o ottusangolo.
Prima di esporre alcune mie considerazioni didattiche in merito all'argomento, vi invito innanzitutto a guardare con attenzione il video "incriminato"...

Qual è stata la vostra reazione? E' chiaro che la risposta data, insieme alla modalità con cui viene esposta, faccia davvero sorridere! 
Sappiamo tutti (o quasi...) che in un qualsiasi triangolo le altezze sono sempre tre, poiché per altezza di un triangolo si intende il segmento di perpendicolare che ha per estremi un vertice qualsiasi del triangolo ed il punto in cui tale segmento interseca il lato opposto (vedi figura: le tre altezze sono indicate con la lettera h). Il punto in cui esse si intersecano viene denominato ortocentro.
Ma volendo un attimo vestire i panni di avvocati del diavolo, la risposta della concorrente, al di là dell'esposizione pessima (ma d'altronde è giustificabile in quanto avrà abbandonato il mondo della matematica da un bel po'...), è davvero concettualmente e completamente errata? Certo, non l'ha minimamente sfiorata la possibilità di considerare come base anche ciascuno degli altri due lati, ma rovesciando i punti di vista, possiamo affermare che la domanda è stata davvero ben posta dagli autori del quiz show? L'alternativa: "Infinite" non è forse un distrattore un po' troppo ardito?
Un matematico direbbe che la domanda è ben posta perché non c'è alcun dubbio sul fatto che le altezze di un triangolo debbano essere solo tre... ma forse intendiamo dire che ci sono tre direzioni possibili di altezze? Se per tracciare un'altezza relativa ad un lato ho bisogno di individuare un segmento di perpendicolare che lo congiunga al vertice opposto, non potrò anche condurre una parallela a questo lato passante per tale vertice e successivamente misurare uno qualsiasi degli infiniti segmenti di perpendicolare delimitati (vedi figura sotto)? La sua lunghezza sarà sempre la stessa, anche se i segmenti interessano parti distinte di uno stesso piano.
E' dunque questione di punti di vista, semantica ed anche un po' di apertura mentale. D'altronde, se consideriamo ad esempio un rettangolo, a nessuno è mai venuto il dubbio sul fatto che si possano condurre infiniti segmenti di perpendicolare ("l'altezza", appunto), tutti di uguale lunghezza, tra le due "basi". Allora perché dovrebbe essere sbagliato per un triangolo? 
Certo, un cambiamento ci sarebbe, perché a questo punto ci troveremmo in difficoltà nell'individuazione dell'ortocentro!
Allora si potrebbe cominciare a distinguere tra un significato di altezza come grandezza ed altezza come ente geometrico...
La matematica non è un'opinione, ma a volte un'opinione in più potrebbe rendere la matematica meno scontata ai nostri occhi, e finiremmo di contrapporla alla filosofia, di cui in realtà è figlia. ^__^

14 commenti:

  1. Davvero molto bello questo post.
    La faccia di quel signore, probabilmente il marito, che ogni tanto veniva inquadrato, diceva tutto o almeno qualcosa del tipo:< ma che sta dicendo, è impazzita !!!!>

    Ma a parte le risate che mi sono fatto, mi sono piaciute molto le riflessioni finali e la condivisibile conclusione:
    La matematica non è un'opinione, ma a volte un'opinione in più potrebbe rendere la matematica meno scontata ai nostri occhi

    Da far leggere sicuramente a quegli studenti che credono che la matematica sia imparare a memoria qualche formula ed utilizzarla solo negli esercizi che qualche prof ci propina.

    Marco

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  2. Sì, la faccia di lui è meravigliosa! ^__^
    E' bella però anche lei che proprio non riesce ad afferrare al volo l'invito di Gerry a cambiare risposta! :)
    Ti ringrazio per l'apprezzamento, non sai quanto condivida il tuo ultimo pensiero.
    Finché sentiremo la gente dire: "la matematica non è per me, non so fare i conti", vuol dire che ancora non avremo capito come insegnarla... ;-)

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  3. Beh! Intanto con passione.
    E da quanto vedo su questo suo blog, sembra che lei ne abbia tanta;
    poi coinvolgendo e facendo divertire noi ragazzi (io ne ho 15 ma ancora cerco di divertirmi con i numeri e la matematica ).

    Farò un giro più approfondito sul suo blog e probabilmente ci risentiremo su qualche altro post o commento.

    Marco

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  4. Seguo molto volentieri i post del blog, poiché vi sono sempre nuove pillole riguardanti una disciplina verso la quale nutro una passione sempre più grande, ma che, ahimè, troppo spesso non viene trattata come meriterebbe.
    Le stesse domande di "Chi Vuole Essere Milionario" mi fanno pensare a quanto la matematica sia ormai la materia "difficile" e odiata per eccellenza.

    Personalmente, dopo essere stata "traumatizzata" per due anni,in 2° e 3° liceo (scientifico), ho avuto l'enorme fortuna di ritrovarmi una professoressa che ha saputo aprirmi un mondo,semplicemente "costringendomi", con la sua severità e la sua precisione maniacale, a studiare (di nuovo) seriamente la materia.
    La conseguenza? Il mio approccio alla matematica ha subito un cambiamento radicale: se prima mi bastava divertirmi con gli esercizietti sul libro, ora sento sempre un nuovo stimolo per cercare approfondimenti e curiosità.

    La matematica potrà pur non essere un'opinione, ma l'opinione che si ha di essa è una questione di prospettiva non trascurabile!

    Ludovica

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  5. Chris questo articolo è davvero bello! E poi sai che io sono particolarmente attratta dal binomio matematica-filosofia! Esempi come questo possono appunto aiutare a capire come non si tratti di un'accozzaglia di numeri e regole da imparare ma di qualcosa di cui si può realmente discutere. Come per altre idee ti annuncio che te la ruberò e la userò appena possibile, mi spiace solo non essere riuscita ancora a dare un contributo al tuo blog... vabbè spero capiti ;o)
    ciao!
    Elvira

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  6. Finchè la matematica, come anche la fisica, sarà insegnata o imparata stile poesia, questi saranno i risultati.

    Francesco

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  7. Ringrazio tutte le persone che, con le loro visite ed i loro commenti sempre intelligenti e costruttivi, degnano di attenzione i miei articoli e stanno consentendo a questo blog di crescere giorno dopo giorno, in così poco tempo, pur trattando argomenti "di nicchia".
    Elvira, già commentando come stai facendo o utilizzando gli articoli, stai dando un grande contributo ^_^ . Anche solo se li leggi, ti incuriosiscono e non ti lasciando indifferente, va bene. E' anche ben accetto qualche suggerimento su quali argomenti vorresti che venissero trattati, perché magari potresti darmi nuovi input... :)
    Il vostro feedback è l'anima del mio entusiasmo...

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  8. La chiarezza nell'esposizione dei concetti nella matematica è fondamentale! Mi è piaciuto questo post, anche nel modo in cui viene presentato.
    Peccato che, come si è già detto, molti docenti non sono all'altezza di SPIEGARE la matematica.

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  9. Ti ringrazio, Roke, per l'apprezzamento! ^__^
    Non c'è gratificazione maggiore del riconoscimento verso il proprio lavoro.
    Una volta tanto, però, colgo l'occasione per ringraziare anche tutti i miei alunni, che con la loro ingenuità e curiosità mi pongono domande sempre stimolanti e tutt'altro che banali. :)
    Se potessimo essere tutti un po' più "bambini", daremmo per scontato qualcosa in meno...

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  10. Non sono mai stato d'accordo col fatto che i biologi insegnassero matematica alle scuole medie,però sono contento che ci sia qualcuno che quantomeno lo faccia con passione..purtroppo spesso non è così..
    Luciano

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  11. Ti ringrazio, Luciano, anche se non è la prima volta che sento quest'opinione, e ti dirò che entro una certa misura la condivido anche, perché la padronanza di un concetto e la competenza nell'utilizzarlo e spiegarlo non possono discendere da un paio di paginette imparate al volo nel giro di pochi giorni.
    Quello che però io mi domando è come mai quasi nessun matematico si chieda perché debba sentirsi autorizzato ad insegnare le scienze nella scuola media... ^__^
    Finché però le due materie faranno parte di una cattedra unica, sarà inutile discuterne, a meno che uno voglia conseguire due lauree distinte per cessare di essere un paradosso ambulante... :P

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  12. Scoperto il blog grazie all'ultimo Carnevale della Fisica e visto che organizzerò il prossimo Carnevale della Matematica, mi farebbe piacere ospitare i tuoi contributi.
    Qui l'annuncio:

    http://sciencebackstage.blogosfere.it/2010/10/la-marcia-dei-paperi-sinistri.html

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  13. Il ragionamento è impeccabile! Ovviamente sconcerta che non si sappia rispondere alla domanda "Quante altezze ha un triangolo?" (rettangolo o no, sappiamo che vale per tutti). Anche io ho abbandonato gli studi matematici da un pezzo, ma non vuol dire che argomenti basilari, insegnamenti della scuola elementare io li abbia dimenticati. Il tuo ragionamento, però, per come la penso io, funziona anche considerando la formula del calcolo dell'area di un triangolo! Ecco perché diventa non completamente errato il ragionamento della concorrente (che però non ha chiaro il concetto di altezza...). In ogni caso, complimenti per il blog!

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  14. Ciao Gianluigi e grazie mille per avermi segnalato il Carnevale della Matematica!
    Sarà davvero un onore per me parteciparvi!! :)
    A presto allora!

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