lunedì 4 ottobre 2010

Il minimo comune multiplo spiegato attraverso un problema concreto

Oltre al procedimento aritmetico imparato a scuola per determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due o più numeri naturali, ci siamo mai chiesti, innanzitutto, cosa significa determinarlo nella vita reale? Cos'è questo m.c.m.?
Faccio una premessa: il procedimento aritmetico per calcolare il m.c.m. è sicuramente uno strumento potente e rapido per arrivare alla soluzione, ed è consigliato soprattutto quando si ha a che fare con numeri naturali piuttosto alti e/o primi tra loro, per i quali una risoluzione di tipo grafico dilaterebbe enormemente i tempi di risoluzione e sarebbe anche scomoda da attuare.
Possiamo però utilizzare una coppia di numeri naturali per noi "non molto alti", e utilizzare un metodo grafico per cercare almeno di comprendere il senso del minimo comune multiplo.
Supponiamo, ad esempio, di dover risolvere la seguente situazione problematica:
Due ciclisti partono nello stesso istante allineati allo START e devono percorrere uno stesso circuito per una gara: il primo ce la fa in 45 minuti, il secondo in 60 minuti. Quanto tempo dovrà trascorrere affinché i due ciclisti si ritrovino a passare nuovamente allineati allo START?
Possiamo schematizzare con un disegno la nostra situazione, in cui scegliamo come unità di misura un intervallo di tempo pari a 15 minuti (il segmento blu di lunghezza minore) e indichiamo i tempi e le tappe percorse da A col colore rosso, da B col colore verde:

Come si vede dalla figura, A e B si incontrano al punto di partenza soltanto dopo 180 minuti, cioè 3 ore. Infatti, poiché A impiega soltanto 45 minuti, dopo aver compiuto il primo giro non si troverà allineato con B, perché quest'ultimo sarà ancora impegnato a completare il primo giro, dal momento che impiega 60 minuti per tornare al punto di partenza. Nei giri successivi, osserviamo come ancora i due atleti continuino a passare allo START in istanti diversi, finché non si ritrovano a passare insieme a 180 minuti dall'inizio.
In poche parole, noi stiamo cercando il più piccolo multiplo comune ad entrambi i numeri, ossia il minimo comune multiplo (m.c.m.), perché sicuramente i due atleti, se continuassero all'infinito a correre, si ritroverebbero a passare insieme allo START in altrettanti infiniti istanti di tempo, essendo infiniti i multipli comuni a due o più numeri! A noi però serve sapere l'istante di tempo immediatamente successivo in cui si incontreranno, cioè il multiplo comune più piccolo tra tutti gli infiniti possibili.

Vediamo infatti quali sono i multipli di 45 e di 60 e quelli a loro comuni:


Come si può vedere dai due insiemi dei multipli di 45 e 60, a parte 0, il primo multiplo comune che si incontra è proprio 180, seguito da 360, ecc.