domenica 17 ottobre 2010

Il massimo comune divisore spiegato attraverso un problema concreto

Oltre al procedimento aritmetico imparato a scuola per determinare il massimo comune divisore (M.C.D.) tra due o più numeri naturali, è innanzitutto importante chiedersi cosa significa determinarlo nella vita reale, onde evitare che la matematica diventi un'applicazione meccanica di regole prive di significato.
Cos'è dunque questo M.C.D.?
Proviamo a capirlo attraverso un problema concreto, che un giorno  potrebbe capitare di dover risolvere a qualcuno di noi:
Un fioraio vuole preparare dei mazzi di rose, avendo a disposizione 15 rose rosse, 5 rose blu e 10 rose gialle. Per cercare di ottimizzare i guadagni, il fioraio vuole confezionare la massima quantità possibile di mazzi di rose contenenti la medesima quantità di rose di un dato colore. Come risolverà il problema?
Conviene partire dalle rose di quantità minore, ossia le blu, perché è più semplice "manipolare" numeri naturali non molto alti. Esse sono soltanto 5, per cui il fioraio avrà soltanto due modi di dividere le 5 rose nella maniera ottimale: 
Le particolari rose arcobaleno
di Peter van de Werken
1) confeziona 1 solo mazzo da 5 rose blu
2) confeziona 5 mazzi da 1 rosa blu ciascuno
E' chiaro che, tra le due possibilità, dovrà orientarsi decisamente verso la seconda, per cui, finora, non c'è alcun intoppo ad avere 5 mazzi di rose. Vediamo se questa soluzione va bene anche per gli altri due tipi di rose.
Le 15 rosse possono essere distribuite equamente tra i 5 mazzi, perché 15 : 5 = 3 rose rosse per ogni mazzo.
Lo stesso si può dire per le 10 gialle, perché 10 : 5 = 2 rose gialle per ogni mazzo.
Graficamente sarà (il colore dei rombi corrisponde a quello delle rose):
Dal punto di vista matematico, il fioraio ha dovuto prima trovare il M.C.D., ossia il numero di mazzi massimo, dopodiché ha effettuato tre divisioni, per capire come distribuire ciascun gruppo di rose nei mazzi.
Ma perché è proprio il M.C.D.? 
La spiegazione è semplice: il massimo comune divisore tra due o più numeri è, come suggerisce la definizione stessa, il più grande tra i divisori comuni ai numeri dati. Se si vogliono distribuire equamente le rose in modo che si ottenga un numero di mazzi uguale e tale che sia il maggiore possibile (così da ottimizzare i guadagni del fioraio...), si dovrà ricorrere necessariamente a questo concetto.
E' chiaro che questo metodo non è certamente il più sbrigativo per determinare il M.C.D.! E' soltanto un esempio per capire un concetto che spesso a scuola si apprende unicamente con la regola aritmetica senza però capirne le potenzialità applicative.

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