lunedì 20 settembre 2010

Problema svolto sulla simmetria centrale

Sono dati i punti di coordinate A(0;3) B(5;0) C(2;2). Trovare le coordinate dei punti A', B' e C' simmetrici ordinatamente ai punti dati A, B e C rispetto al punto D (-1;-3).
Svolgimento:
Il problema chiede di trovare le coordinate dei punti A', B', C', simmetrici di A, B, C, rispetto ad un punto D, evidenziato in rosso in figura, che sarà quindi il nostro centro di simmetria.
Possiamo partire dal presupposto che due punti, A ed A', sono simmetrici rispetto ad un punto D se sono equidistanti da esso: in poche parole, D dovrà essere il punto medio del segmento AA', e lo stesso ragionamento si può fare per i restanti due punti B e C.
Sapendo che le coordinate x e y del punto medio di un segmento, che in tal caso chiamiamo D, si calcolano (per sapere come ricavare le formule, vai al link):
 
 Allora avremo che le coordinate x ed y di ogni punto saranno date dalle seguenti equazioni della simmetria di centro D:

Facendo un po' di conti, avremo quindi:
Per A':
x = 2 * (-1) - 0 = -2;     y = 2 * (-3) - 3 = -9.   Quindi A'(-2;-9)
Per B':
x = 2 * (-1) - 5 = -7;     y = 2 * (-3) - 0 = -6.   Quindi B'(-7;-6)
Per C':
x = 2 * (-1) - 2 = -4;     y = 2 * (-3) - 2 = -8.   Quindi C'(-4;-8)