giovedì 16 settembre 2010

Il quadrato magico... diabolico!

Melancholia I di Albrecht Durer
Riassumendo ciò che ho scritto in un articolo pubblicato qualche settimana fa, un quadrato magico non è altro che un quadrato suddiviso in n x n caselle, dove n è detto ordine del quadrato magico ed indica il numero di caselle di cui è costituito ogni lato del quadrato. Ho inoltre scritto che, in un dato quadrato magico, la somma dei numeri che compongono ogni riga, ogni colonna ed ogni diagonale, dev'essere costante, e tale somma prende il nome di costante magica. Esistono tuttavia dei quadrati magici chiamati quadrati diabolici, uno dei quali è rappresentato in un'opera d'arte di Albrecht Durer, il massimo esponente della pittura rinascimentale tedesca.
L'opera in questione si chiama Melancholia I e fa parte di un trittico di incisioni insieme ad altre due importanti opere. In Melancholia, come suggerisce il titolo stesso dell'opera, l'autore intende stabilire un ponte tra il mondo razionale, scientifico, e quello più creativo, artistico, e tale connubio è una dedica alla sfera intellettuale, simboleggiata dal pianeta Saturno, che a sua volta rappresenta il sentimento della malinconia nella tradizione astrologica.
Se si guarda attentamente l'opera, i richiami al mondo matematico ed alchemico saltano immediatamente all'occhio: una sfera, un poliedro, una macina, un mantice ed altri attrezzi da alchimista.
Guardando con maggiore attenzione in alto a destra, si può notare una griglia quadrata con dei numeri incisi: si tratta di un quadrato magico diabolico (vedi ingrandimento sotto). Quando si parla di quadrato diabolico, si fa riferimento ad un quadrato magico in cui la costante magica è ottenibile non soltanto come somma dei numeri riportati nelle righe, colonne e diagonali, ma anche come somma di altre combinazioni possibili!
Quadrato diabolico di Melancholia
Il quadrato diabolico di Albrecht Durer ha ordine n = 4 e la costante magica possiamo facilmente ricavarla sommando i numeri di una riga o colonna o diagonale: 16 + 3 + 2 + 13 = 34.
Se però consideriamo anche la somma dei quattro numeri ai vertici, ossia 16 + 13 + 4 + 1, notiamo che la somma è ancora una volta 34 (esempio evidenziato in rosso nella figura sotto). Questa è una delle caratteristiche che distingue un quadrato magico ordinario da uno diabolico, in quanto in uno ordinario non è assolutamente necessario che si verifichi questa condizione!
Questa, inoltre, non è certamente l'unica differenza!
Se prendiamo in considerazione anche una qualsiasi coppia di diagonali secondarie opposte (un esempio è evidenziato in blu nella figura sotto), ancora una volta verificheremo che la somma è 34!
Una finezza di Durer da notare: la data in cui è stata realizzata l'opera è il 1514 ed è scritta nel quadrato magico stesso... siete in grado di trovarla da soli? ^___^