domenica 5 settembre 2010

Esercizi sul calcolo di probabilità condizionata di eventi compatibili

Ecco un esempio di problema svolto di probabilità condizionata.
Per recuperare la somma finora persa, un giocatore punta tutto sul lancio di due dadi regolari, affinché esca dalla somma dei due dadi un numero non inferiore a 11 e il primo dado si fermi sul sei. Che probabilità ha di vincita?

Risoluzione:
Affinché i due dadi lanciati diano una somma non inferiore a 11, è necessario che il punteggio sia almeno 11, cioè 11 o al massimo 12! Questo significa perciò che, delle 6 x 6 = 36 possibili combinazioni, quelle utili ai fini del giocatore sono soltanto 3, cioè:

5 (primo dado) + 6 (secondo dado) = 11
6 (primo dado) + 5 (secondo dado) = 11
6 (primo dado) + 6 (secondo dado) = 12.

Indichiamo con P (A) la probabilità che si verifichi questo primo evento A. Si avrà:
P (A) = 3/36.
Il giocatore però vuole che si verifichi anche un evento B, cioè che dal primo dado esca 6.
Vuol dire che le combinazioni utili saranno: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), delle possibili 36. Quindi:
P (B) = 6/36.

E' importante però sottolineare che, se si vuole che si verifichino entrambe le condizioni, al nostro giocatore interesseranno soltanto due delle tre combinazioni dell'evento A, perché la condizione 5+6 non è compatibile col secondo evento. 
In tal caso, la probabilità di un evento A condizionato da un evento B si scrive P (A|B), ed è data dalla formula:



dove al numeratore compare l'intersezione dei due eventi, cioè la condizione che li soddisfa entrambi. Nel nostro caso l'intersezione sarà la probabilità di 2/36, visto che 5+6 non è utile al giocatore. Quindi:

P (A|B) = (2/36) / (6/36) = 2/6 = 1/3 = 0,33.

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