giovedì 2 settembre 2010

Dimostrazioni di geometria svolte (triangoli; congruenza)

Su un segmento BC, preso come base comune, costruisci dalla stessa parte di BC due triangoli congruenti BAC e BA'C. Indicato con O il punto di intersezione tra BA e CA', dimostra che il triangolo BOC è isoscele e che i due triangoli A'OB e AOC sono congruenti.

Hp: BAC = BA'C

Th: BOC è isoscele (BO = CO);
      A'OB = AOC


Dimostrazione:
I triangoli BAC e BA'C sono congruenti per ipotesi, quindi dovranno anche avere congruenti i rispettivi angoli; in particolare: l'angolo A'CB = ABC. Di conseguenza, nel triangolo BOC i suoi due angoli alla base BC sono congruenti, per cui esso risulterà isoscele sulla base BC e, in particolare, BO = CO.
Dimostriamo ora che i triangoli A'OB e AOC sono congruenti.
Si può dimostrare che i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, poiché hanno due lati e l'angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, infatti BO = CO perché lati obliqui del triangolo isoscele BOC, A'B = AC per ipotesi e gli angoli compresi A'BO e ACO congruenti perché differenze di angoli congruenti (A'BC = ACB e OBC = OCB, quindi A'BC – OBC = ACB – OCB).