venerdì 26 maggio 2017

Problema svolto: calcolare la lunghezza dei raggi di 2 cerchi concentrici noto il rapporto tra le circonferenze

Risolviamo il seguente problema (senza impostazione di un'equazione di 2° grado):


La differenza tra le aree di 2 cerchi concentrici è 36 π cm2 e il rapporto tra le lunghezze delle rispettive circonferenze è 5/4. Calcola le lunghezze dei due raggi.

Possiamo risolvere questo problema sfruttando la proprietà dello scomporre delle proporzioni, avendo a disposizione la differenza tra le aree e potendone ricavare il rapporto.


Chiamiamo C1 e C2 le 2 circonferenze, rispettivamente di raggio R e r, e facciamo subito una considerazione: siccome il rapporto tra le circonferenze è 5/4, allora

Di conseguenza, facendo qualche semplificazione, anche il rapporto tra i raggi è 5/4:
Siccome l'area del cerchio è espressa come prodotto tra il quadrato del raggio e pi greco, allora il rapporto tra le aree dei 2 cerchi sarà dato dal quadrato del rapporto tra i raggi. Quindi (tralasciando π per semplicità):
Possiamo applicare a questa proporzione la proprietà dello scomporre, ricordando dal testo del problema che
Conoscendo l'area del cerchio minore, possiamo ricavarne il raggio con la nota formula generale:
Risolviamo la proporzione rispetto a R per conoscere il raggio del cerchio maggiore:

martedì 16 febbraio 2016

Che differenza c'è tra rana e rospo?

Più di una volta potrebbe esserci capitato di chiederci se e cosa ci sia di diverso tra rana e rospo. Un errato luogo comune, alquanto diffuso nel nostro Paese, vorrebbe rana e rospo rispettivamente come femmina e maschio di una stessa specie di anfibio, probabilmente imputabile al fatto che la parola "rospo" sia maschile, mentre "rana" femminile, ma così non è.
Sia nel caso delle rane che dei rospi, si tratta di anfibi, cioè vertebrati eterotermi che necessitano di condurre una doppia vita, con uno stadio giovanile acquatico (girino) e, in seguito ad una trasformazione che fa ritirare le branchie e la coda, uno stadio adulto terrestre con respirazione polmonare. Sono quindi anfibi dell'ordine degli anuri, che letteralmente significa "senza coda", all'interno del quale si possono individuare diverse famiglie. In particolare, la famiglia Bufonidae raggruppa gli anfibi anuri conosciuti più comunemente come rospi, anche se la linea di confine tra rana a rospo è molto più sottile di quanto si possa immaginare. Secondo diversi zoologi è infatti più corretto considerare i rospi come un sottoinsieme del gruppo delle rane, dove per "rane" s'intende l'intero ordine Anura.
Una rana
Vediamo per sommi capi quali caratteristiche possono aiutarci a distinguere rapidamente una rana da un rospo, secondo la meno rigorosa distinzione zoologica popolare.
1) Anatomia delle zampe posteriori: i rospi tendono a trascorrere molto meno tempo in acqua rispetto alle rane, le quali hanno anche le zampe posteriori palmate, più lunghe e sviluppate, con un'anatomia più adatta al nuoto e al salto; le zampe posteriori dei rospi, invece, sono più tozze e adatte a brevi saltelli.
Un rospo
2) Caratteristiche fisiche: il corpo e la testa delle rane, in proporzione alle dimensioni totali, sono generalmente più affusolati che nei rospi, nei quali invece si presentano più tozzi.
3) Caratteristiche della pelle: la pelle delle rane è generalmente liscia, sottile e umida; la pelle dei rospi è ruvida, spessa e secca.
4) Riproduzione: le rane tendono a deporre le uova in ammassi a forma di grappolo, mentre i rospi in cordoni alloggiati lungo i corsi d'acqua.

lunedì 18 gennaio 2016

Il numero di Belfagor

No, non stiamo parlando del 17, né del 13, né del 666, numeri di cui abbiamo parlato anni fa in altri post, anche se il richiamo ad essi viene quasi spontaneo, considerando l'entità della superstizione ad essi legata sin dalla notte dei tempi. Non siamo però molto lontani dalla "verità", perché i matematici hanno voluto un po' mettere insieme alcuni di questi numeri per designarne uno in particolare, soprannominato proprio il numero di Belfagor:
 



Il pi greco rovesciato, simbolo
del numero di Belfagor

Come si può vedere, questo numero ha diverse singolarità:
1) è un numero palindromo, cioè può essere letto indifferentemente da sinistra o destra;
2) contiene 666, numero tradizionalmente associato a Satana;
3) contiene 13 zeri a sinistra e 13 a destra di 666, e come ben si sa anche il 13 è un numero considerato foriero di cattivi auspici, soprattutto nei Paesi anglosassoni;
4) è un numero primo.
Ricordiamo che Belfagor è un personaggio mitologico che in diverse tradizioni religiose, con nomi di assonanza simile, viene identificato con il male; nella demonologia cristiana, ad esempio, viene raffigurato come uno dei 7 principi dell'inferno e rappresenterebbe il peccato dell'accidia. Proprio per questa sua connotazione negativa e l'iconografia classica che ne vuole la testa cornuta, quale simbolo avrebbe potuto rappresentare meglio questo curioso numero, se non il pi greco rovesciato? ^_^


domenica 10 gennaio 2016

Problema svolto: calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo note le differenze tra lati e il perimetro


Risolviamo il seguente problema:

Il perimetro di un triangolo scaleno misura 200 cm. Calcola la misura di ciascun lato sapendo che il lato BC supera il lato AB di 16 cm e che il lato AC supera il lato BC di 24 cm.

Schematizziamo i dati:
2p = 200 cm;
BC = AB + 16 cm;
AC = BC + 24 cm.

Possiamo rappresentare la figura e i dati usando il metodo grafico, come nell'immagine accanto che ho realizzato con Geogebra.
Come si vede in figura, se il perimetro misura 200 cm, allora AB + BC + AC deve corrispondere alla somma di 3 segmenti tutti congruenti ad AB, più 2 unità da 16 cm più un'unità da 24 cm. Quindi se noi sottraiamo a 200 la somma di questi 3 segmenti di nota lunghezza, non ci resterà altro che dividere la differenza ottenuta per 3, in modo da conoscere ciascuno dei 3 segmenti di lunghezza ignota. In questo modo, ricaviamo la lunghezza di AB:
Quindi:
 

venerdì 8 gennaio 2016

Le formule matematiche di... Star Wars!

Se siete fan sfegatati di Star Wars da tempi immemorabili e vi siete precipitati nelle sale per guardare "Il Risveglio della Forza", ma siete anche appassionati di matematica, allora non potete perdervi queste straordinarie raffigurazioni dei personaggi della più famosa saga spaziale!
Sono stati realizzati attraverso l'uso di Wolfram Alpha, un motore di ricerca computazionale che, anziché presentare un elenco di link come Google, propone direttamente una risposta alle parole chiave inserite dagli utenti, cercando così di "indovinare" quello che l'utente vorrebbe cercare. Wolfram Alpha è particolarmente noto a chi si occupa di matematica, dal momento che di esso è parte integrante il software Mathematica, linguaggio di programmazione altamente sofisticato che, per fare un esempio, tra le tante cose è in grado di riconoscere qualsiasi funzione e trasformarla nel corrispondente grafico. 
Proprio questa caratteristica di Mathematica ha permesso a dei fan matofili di Star Wars di realizzare i vari personaggi della saga, ottenuti graficamente inserendo lunghissime equazioni parametriche!
Di sotto potete osservare alcuni screenshot di esempi di personaggi realizzati, con relativo link alle equazioni parametriche impiegate, mentre la galleria completa è a questo link.
Admiral Ackbar (equazioni)
Han Solo (equazioni)
Darth Vader (equazioni)
C-3PO (equazioni)
 

Chewbacca (equazioni)
Anakin Skywalker (equazioni)