giovedì 21 settembre 2017

Problema svolto con M.C.D.: quante piastrelle?

Risolviamo il seguente problema che richiede l'individuazione pratica del M.C.D.:

Si vuole piastrellare una stanza rettangolare, avente le dimensioni 360 cm x 280 cm, con il minor numero possibile di mattonelle quadrate tutte uguali; quanto deve essere lungo il lato di ogni mattonella? Quante mattonelle sono necessarie?

Risoluzione:
Se si vuole piastrellare la stanza col minor numero di mattonelle possibile (tutte ovviamente delle stesse dimensioni), è necessario che queste abbiano il lato più lungo possibile. Quindi il concetto che si nasconde dietro la risoluzione di questo problema non è altro che il M.C.D. (massimo comune divisore).
Scomponiamo in fattori primi 360 e 280. Avremo


Calcoliamone il M.C.D., ricordando di prendere in considerazione solo i fattori comuni, col minimo esponente, anche se in questo caso i fattori comuni hanno gli stessi esponenti, per cui non occorre fare alcuna scelta. 
Quindi

Se ogni piastrella quadrata dovrà avere il lato di 40 cm, allora la sua area sarà

Infine, dividendo l'area della superficie rettangolare (360 * 280 = 100800 cm2) per l'area di una singola piastrella, otterremo il numero di piastrelle necessarie:

martedì 12 settembre 2017

L'algoritmo di Collatz (o Ulam o Hasse o Syracuse...)


Nel 1930 il matematico tedesco Lothar Collatz formulò una congettura ancora oggi non dimostrata su un algoritmo che attribuisce al numero 1 una proprietà unica. Il matematico tedesco Helmut Hasse, amico di Collatz, diffuse il problema noto anche con il nome "algoritmo di Hasse" o "problema 3x+1". Poiché Hasse presentò il problema negli anni '50 durante una visita all'università di Syracuse (vicino a New York), propose di battezzarlo "problema di Syracuse" o anche "problema 3x+1", ma il matematico polacco Stanislaw Ulam fece circolare l'algorimo all'Università di Los Alamos, dove lavorava durante la seconda guerra mondiale, e perciò assunse anche il nome di "problema di Ulam".
Ai più è noto semplicemente come "algoritmo di Collatz".  
Questo algoritmo consiste in tre semplici regole che permettono di arrivare al numero 1 partendo da qualsiasi numero:
- se il numero è pari, si divide per 2;
- se il numero è dispari, si moltiplica per 3 e si aggiunge 1;
- si ripete il processo fino ad ottenere 1.

Facciamo un esempio, considerando il numero 13. È dispari, per cui lo moltiplichiamo per 3 ed aggiungiamo 1, ottenendo 40. Essendo pari, lo dividiamo per 2 tre volte consecutive, fino ad arrivare a 5. Moltiplichiamo 5 per 3 e aggiungiamo 1, ottenendo 16, che dividiamo quattro volte per 2 fino ad arrivare ad 1.
Si tratta di una congettura perché ancora non è stata trovata una dimostrazione per questo algoritmo, ma il fascino e l'eleganza della sua semplicità spinsero il geniale matematico Paul Erdős ad offrire 500 dollari per stimolare la risoluzione di questo problema.

lunedì 4 settembre 2017

Il fine giustifica(?) i mezzi: le storie degli scimpanzé Mike e Foudouko a confronto

Quando pensiamo di essere l'unica specie animale che compie delle azioni per trarne puro divertimento senza uno scopo ben preciso, ci dimentichiamo dei nostri prossimi parenti: gli scimpanzé.
Chi ad esempio non conosce la pratica del grooming? È la simpatica abitudine che hanno gli scimpanzé (ma non solo loro) di spulciarsi a vicenda, comportamento detto anche di coesione, perché funzionale al mantenimento dei rapporti socio-affettivi tra gli individui della stessa popolazione.
Meno noto è invece il lato oscuro degli scimpanzé, che in maniera analoga a quanto purtroppo accade nella nostra specie, può condurli fino alla brutale uccisione in branco di alcuni loro conspecifici. I motivi possono essere molteplici, soprattutto se riguardano la competizione per le femmine o altre risorse, e non sempre per gli etologi è facile capirli o documentarli. Singolare è stato il caso relativamente recente di Foudouko, scimpanzé che era stato per alcuni anni il maschio alpha della comunità di scimpanzé di Fongoli, in Senegal. Nel 2007 Foudouko vide la sua leadership indebolirsi, poiché il suo "braccio destro" Mamadou subì un incidente che gli provocò una grave ferita ad una gamba. Fu così che un gruppo di scimpanzé maschi della sua comunità, approfittando di questo momento di debolezza, organizzò una vera e propria rivolta per scacciare il leader, costringendo Foudouko ad uscire dalla comunità. Foudouko non si diede per vinto e, dopo 9 mesi di esilio forzato, tornò per farsi accettare nuovamente. Il nuovo maschio alpha, David, fratello di Mamadou, non mostrò mai ostilità nei suoi confronti, ma i maschi che avevano vissuto il suo dominio costrinsero Foudouko a 5 anni di vita infernale, scacciandolo regolarmente quando ne avevano l'occasione.
Foudouko ucciso dai suoi simili
Nel 2013 si concluse la parabola discendente della leadership di Foudouko con una vicenda che lasciò i primatologi del posto abbastanza interdetti: Foudouko fu barbaramente ucciso da un gruppo di scimpanzé, che continuarono ad infierire sul suo corpo (anche sui genitali) con mutilazioni e atti di cannibalismo (perpetrati curiosamente anche dalle femmine) per diversi giorni dopo la sua morte. Secondo i ricercatori, le motivazioni di un comportamento di gruppo così efferato sono da ricercarsi soprattutto all'interno della competizione per le femmine o forse in vecchi rancori maturati nella comunità all'epoca del dominio di Foudouko, ma c'è ancora molto da scoprire sull'affascinante mondo dei primati e sul modo in cui prendono le decisioni comuni.

Certamente tra il grooming e l'assassinio in branco esistono tante altre sfumature intermedie: tutti conosciamo il detto "dispettoso come una scimmia", perché gli scimpanzé sono anche noti per la loro intelligenza e capacità di mettere in pratica scherzi o dispetti non necessariamente dannosi.
Lo scimpanzé Mike intento a raccogliere
2 bidoni :-)
Lo scimpanzé Mike, studiato a lungo dall'eminente etologa e antropologa inglese Jane Goodall, rappresenta un singolare caso documentato di come gli scimpanzé imparino a sfruttare le conseguenze di un dispetto come una vera e propria arma a proprio vantaggio. Mike aveva imparato a spaventare i maschi della sua comunità cogliendoli di sorpresa mentre si spulciavano: si caricava emettendo una serie di suoni particolari, prendeva due bidoni vuoti e cominciava a farli sbattere rumorosamente tra loro per poi lanciarli in aria; così facendo, i suoi compagni si spaventavano terribilmente e scappavano. A lungo andare, questo comportamento messo in atto sistematicamente permise a Mike di diventare il membro più temuto della sua comunità, che preferiva sottostare alla minaccia con timore reverenziale anziché lottare contro un fenomeno sconosciuto. Grazie al suo ingegno e senza usare la violenza che spesso anima gli scimpanzé nel loro sistema sociale, Mike riuscì a guadagnarsi il rispetto del gruppo divenendone il nuovo maschio alpha.
Del resto, questo non è forse paragonabile ai moderni sistemi di propaganda politica della nostra specie? :-) Quelli populisti che con tanto baccano cercano di inculcare nelle masse timori e convinzioni che, accompagnati al timore dell'ignoto, portano poi le persone in cabina elettorale a votare per i loro nuovi adorati messia?
Meditiamo...

venerdì 1 settembre 2017

Animali dal sangue blu

E no, non stiamo parlando di animali con titoli nobiliari :). Ci sono animali che hanno davvero il sangue blu. 
Si tratta in particolare di molluschi e artropodi, come i crostacei, perché possiedono un pigmento nel sangue che legandosi all'ossigeno diventa blu. Si tratta dell'emocianina, pigmento respiratorio ricco di rame che svolge la stessa funzione della nostra emoglobina, che invece è ricca di ferro e colora il nostro sangue di rosso.
I pigmenti respiratori sono molecole fondamentali per la respirazione, perché favoriscono il trasporto dell'ossigeno nel sangue legandosi ad esso, ma esistono alcune differenze sostanziali tra emocianina ed emoglobina. L'emoglobina è una molecola di piccole dimensioni, contenuta  nei globuli rossi, mentre l'emocianina è una molecola di dimensioni relativamente grandi, al punto da poter essere presente libera nel sangue e aumentare così l'efficienza di trasporto dell'ossigeno. Essa, inoltre, è molto più efficiente dell'emoglobina nel legarsi all'ossigeno nelle condizioni di bassa pressione in cui il gas si trova disciolto nelle profondità marine, in cui vivono molti molluschi e crostacei.

sabato 19 agosto 2017

Calcolare il valore di espressioni letterali con i valori delle variabili assegnati: 3 esempi di esercizi svolti

Vediamo come calcolare il valore di alcune espressioni letterali con i valori delle variabili assegnati.
Prenderemo in considerazione 3 esempi di difficoltà crescente, in modo da rispolverare anche alcuni concetti quali le operazioni tra frazioni, le potenze con esponente negativo e le potenze di numeri negativi.

Primo esempio:
 
Sostituiamo i valori assegnati al posto delle lettere nell'espressione, prestando attenzione al cambio di segno nella sostituzione dei valori di b:

Eseguiamo i calcoli nelle parentesi


Calcoliamo le potenze ricordando che la potenza di un numero negativo è positiva se l'esponente è pari, mentre è negativa se l'esponente è dispari
Eliminiamo le parentesi ricordando di cambiare segno a -1/8, a causa del segno negativo fuori parentesi



Secondo esempio:


Sostituiamo i valori assegnati al posto delle lettere nell'espressione ed otteniamo
 
Ricordiamo che la cosiddetta "regola dei segni" vale per la moltiplicazione e per la divisione, sua operazione inversa, e quindi possiamo semplificarci la vita con i segni delle 2 frazioni, svolgiamo il semplice calcolo in parentesi ed otteniamo:




Terzo esempio:
  
Sostituiamo i valori assegnati al posto delle lettere nell'espressione ed otteniamo

Ricordiamo che l'esponente negativo di una potenza può diventare positivo a patto di trasformare la base nella sua frazione reciproca, per cui

Rimuoviamo le parentesi tenendo conto del segno presente fuori di esse e svolgiamo i calcoli restanti